পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনা ক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদান বা ফলাফলকে নমুনা বিন্দু বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ঘটনার সম্ভাবনা যদি ০ অপেক্ষা বড় কিন্তু ১ অপেক্ষা ছোট হয় (0 < P(A) < 1), তবে তাকে অনির্দিষ্ট বা সম্ভাব্য ঘটনা (Random/Probable event) বলা হয়। যেহেতু এখানে P(A) = 0.83, যা ০ এবং ১-এর মধ্যবর্তী, তাই 'A' একটি সম্ভাব্য বা অনির্দিষ্ট ঘটনা। এর সম্ভাবনার মান ০.৫-এর বেশি হওয়ায় এটি ঘটার সম্ভাবনা বেশ প্রবল বা উচ্চ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে,
   মোট বলের সংখ্যা = ১টি লাল + ৪টি সাদা = ৫টি বল।
   দৈবভাবে ২টি বল নির্বাচনের মোট উপায় = ⁵C₂ = (5 × 4) / (2 × 1) = 10

   নির্বাচিত বল ২টি সাদা হওয়ার অনুকূল উপায় = ⁴C₂ = (4 × 3) / (2 × 1) = 6

   অতএব, বল ২টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা:
   P(২টি সাদা বল) = ⁴C₂ / ⁵C₂ = 6 / 10 = 3/5 = 0.6।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুই বা ততোধিক ঘটনার সংযোগ সেট যদি সমগ্র নমুনা ক্ষেত্রের সমান হয় এবং তাদের সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হয়, তবে ঘটনাগুলোকে সম্পূর্ণ বা নিঃশেষী (Exhaustive) ঘটনা বলে।

   মোট বল = ১টি লাল + ৪টি সাদা = ৫টি বল। দৈবভাবে ২টি বল তোলার মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ⁵C₂ = ১০।

   ১. বল ২টি একই রঙের হওয়ার ঘটনা (E₁):
   যেহেতু লাল বল মাত্র ১টি, তাই ২টি বল একই রঙের হওয়ার একমাত্র উপায় হলো ২টি বলই সাদা হওয়া।
   অনুকূল উপায় = ⁴C₂ = ৬
   অতএব, P(E₁) = ৬ / ১০ = ০.৬

   ২. বল ২টি ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা (E₂):
   ভিন্ন রঙের হওয়ার অর্থ হলো ১টি লাল ও ১টি সাদা বল হওয়া।
   অনুকূল উপায় = ¹C₁ × ⁴C₁ = ১ × ৪ = ৪
   অতএব, P(E₂) = ৪ / ১০ = ০.৪

   এখন ঘটনা দুটির সম্ভাবনার সমষ্টি:
   P(E₁) + P(E₂) = ০.৬ + ০.৪ = ১

   যেহেতু ২টি বল তুললে বল দুটি হয় একই রঙের হবে অথবা ভিন্ন রঙের হবে—এর বাইরে অন্য কোনো ফলাফল সম্ভব নয় এবং তাদের সম্ভাবনার যোগফল ১ [P(E₁ ∪ E₂) = ১], সুতরাং বল ২টি একই রঙের এবং ভিন্ন রঙের পাওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ (নিঃশেষী) ঘটনা।