পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক যদি পৈঁসু বিন্যাস মেনে চলে, তবে তাকে পৈঁসু চলক বলা হয়। এটি সাধারণত নির্দিষ্ট স্থান বা সময় ব্যবধানে অতি বিরল কোনো ঘটনার সংঘটন সংখ্যা নির্দেশ করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে।

   পরিমিত চলক $X$ একটি অবিচ্ছিন্ন দৈব চলক, যার মান বাস্তব সংখ্যার যেকোনো সীমার মধ্যে থাকতে পারে, অর্থাৎ $-\infty < X < \infty$। পরিমিত বিন্যাসের গড় $\mu$-এর মান $-\infty$ থেকে $+\infty$-এর যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। অতএব, কোনো উপাত্তের বৈশিষ্ট্যের ওপর ভিত্তি করে পরিমিত বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, ক্রেতার সংখ্যা $X$ একটি পৈঁসু চলক, যার গড় $\lambda = 3$।

   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক হলো:
   $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}; \quad x = 0, 1, 2, \dots$

   অতএব, উদ্দীপকের আলোকে:
   $P(X = x) = \frac{e^{-3} \cdot 3^x}{x!}$

   এখন, $P(0 \le X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
   $= \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} + \frac{e^{-3} \cdot 3^1}{1!}$
   $= e^{-3} \cdot 1 + e^{-3} \cdot 3$
   $= 4e^{-3}$
   $= 4 \times 0.049787 \approx 0.1991$

   উত্তর: নির্ণেয় সম্ভাবনা হলো প্রায় $0.1991$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   রনির মন্তব্যটি ছিল: প্রতি মিনিটে ২ জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা প্রতি মিনিটে ৩ জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনার সমান।

   আমরা উদ্দীপকের আলোকে সম্ভাবনা দুটি নির্ণয় করি:
   গড় $\lambda = 3$

   প্রতি মিনিটে ২ জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা:
   $P(X = 2) = \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} = \frac{9e^{-3}}{2} = 4.5 e^{-3} \approx 4.5 \times 0.049787 \approx 0.2240$

   প্রতি মিনিটে ৩ জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা:
   $P(X = 3) = \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} = \frac{27e^{-3}}{6} = 4.5 e^{-3} \approx 4.5 \times 0.049787 \approx 0.2240$

   দেখা যাচ্ছে যে, $P(X = 2) = P(X = 3) = 4.5 e^{-3}$।

   অতএব, প্রতি মিনিটে ২ জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা এবং ৩ জন ক্রেতা আসার সম্ভাবনা পরস্পর সমান। সুতরাং, আমি রনির মন্তব্যের সাথে পুরোপুরি একমত।