পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সম্ভাবনার ক্ষেত্রে কোনো পূর্বনির্ধারিত শর্তের অধীনে কোনো কাজ একবার সম্পাদন করাকে চেষ্টা (Trial) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, অশূন্য সম্ভাবনাবিশিষ্ট স্বাধীন ঘটনা যুগপৎভাবে বর্জনশীল হতে পারে না।

   ব্যাখ্যা: দুটি ঘটনা A ও B বর্জনশীল হলে তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাবনা শূন্য হয়, অর্থাৎ P(A ∩ B) = 0। কিন্তু ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হলে গুণন সূত্র অনুযায়ী P(A ∩ B) = P(A) · P(B) হবে। যেহেতু P(A) > 0 এবং P(B) > 0, তাই P(A) · P(B) কখনো শূন্য হতে পারে না। সুতরাং, দুটি অশূন্য সম্ভাবনাবিশিষ্ট ঘটনা একই সাথে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হলো: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}।
   এখানে মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা, n(S) = 6।

   ধরি, ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য (বা জোড়) সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা E।
   অনুকূল ফলাফলসমূহ = {2, 4, 6}
   অতএব, অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(E) = 3।

   সুতরাং, ছক্কায় 2 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা:
   P(E) = n(E) / n(S) = 3 / 6 = 1/2 বা 0.5।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ পরীক্ষায় নমুনা ক্ষেত্র (S) হবে:
   S = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6),
   (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}
   এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S) = 2 × 6 = 12।

   ধরি,
   A = মুদ্রা হতে টেল (T) পাওয়ার ঘটনা
   B = ছক্কা হতে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা

   অনুকূল ফলাফলসমূহ:
   A = {(T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}; n(A) = 6
   B = {(H, 1), (H, 3), (H, 5), (T, 1), (T, 3), (T, 5)}; n(B) = 6
   A ∩ B = {(T, 1), (T, 3), (T, 5)}; n(A ∩ B) = 3

   অতএব,
   P(A) = 6/12 = 1/2
   P(B) = 6/12 = 1/2
   P(A ∩ B) = 3/12 = 1/4

   এখন,
   P(A) × P(B) = (1/2) × (1/2) = 1/4

   দেখা যাচ্ছে যে, P(A ∩ B) = P(A) × P(B)।
   যেহেতু দুটি ঘটনার যৌথ সম্ভাবনা তাদের পৃথক সম্ভাবনার গুণফলের সমান, তাই ঘটনা দুটি স্বাধীন।

   অতএব, দুই ভাই সিয়াম ও কিয়ামের বক্তব্য সঠিক।