পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে চেষ্টার কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে—একটি সাফল্য এবং অন্যটি বিফলতা, তাকে বার্নোলী চেষ্টা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ২০১৭ সালের পরীক্ষায় A+ পাওয়া শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্দেশকারী চলকের সম্ভাবনা বিন্যাস হবে দ্বিপদী বিন্যাস (Binomial Distribution)।

   ব্যাখ্যা: এখানে পরীক্ষার্থীদের সংখ্যা নির্দিষ্ট (সসীম), প্রত্যেক শিক্ষার্থীর ক্ষেত্রে দুটি সম্ভাব্য ফলাফল বিদ্যমান (A+ পাওয়া বা না পাওয়া), ফলাফলদ্বয় পরস্পর বর্জনশীল ও স্বাধীন এবং প্রতিটি শিক্ষার্থীর জন্য A+ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্দিষ্ট থাকে। দ্বিপদী বিন্যাসের সকল শর্ত পূরণ করায় এটি দ্বিপদী বিন্যাস অনুসরণ করবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে মোট ধান, $N = 20$টি
   নষ্ট ধান, $M = 8$টি
   ভালো ধান = $20 - 8 = 12$টি
   নমুনা আকার, $n = 15$

   যেহেতু মোট ধান $N = 20$ এবং নমুনা $n = 15$ যা প্রতিস্থাপন ছাড়া নেওয়া হয়েছে (যেহেতু $N$ ছোট এবং $n/N > 0.05$), তাই এটি একটি অতি-জ্যামিতিক বিন্যাস (Hypergeometric Distribution)।

   ধরি, নমুনায় নষ্ট ধানের সংখ্যা $X$।
   তাহলে সম্ভাবনা ফাংশন:
   $P(X = x) = \frac{{}^{8}C_x \times {}^{12}C_{15-x}}{{}^{20}C_{15}}$

   কমপক্ষে 1টি ধান নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$

   এখানে $x = 0$ হলে:
   ${}^{12}C_{15}$ যা অসম্ভব, কারণ 12টি ভালো ধান থেকে 15টি ভালো ধান নেওয়া যায় না (অর্থাৎ ${}^{12}C_{15} = 0$)।
   সুতরাং, $P(X = 0) = 0$।

   অতএব, $P(X \ge 1) = 1 - 0 = 1$।

   (নোট: যদি দ্বিপদী বিন্যাস ধরে সমাধান করা হয়: নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা $p = \frac{8}{20} = 0.4$; $q = 0.6$; তখন $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0.6)^{15} \approx 1 - 0.00047 = 0.99953$)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাস বিবেচনা করে:
   নমুনার আকার, n = 15
   একটি ধান নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা, p = 8/20 = 0.4
   একটি ধান নষ্ট না হওয়ার সম্ভাবনা, q = 1 - 0.4 = 0.6

   দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে সূঁচালতা গুণাঙ্ক (β₂):
   β₂ = 3 + (1 - 6pq) / (npq)

   এখানে,
   npq = 15 × 0.4 × 0.6 = 3.6
   1 - 6pq = 1 - 6(0.4 × 0.6) = 1 - 6(0.24) = 1 - 1.44 = -0.44

   সুতরাং,
   β₂ = 3 + (-0.44 / 3.6)
   = 3 - 0.1222
   = 2.8778 (বা 2.88)

   মন্তব্য:
   পরিমিত বিন্যাসের ক্ষেত্রে β₂ = 3 (মধ্যম সূঁচালো)।
   যেহেতু এখানে β₂ < 3 (অর্থাৎ 2.88 < 3), তাই সম্ভাবনা বিন্যাসটি অনতিসূঁচালো বা চ্যাপ্টা (Platykurtic)।