পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক কেবল দ্বিপদী বিন্যাস মেনে চলে এবং যার মান শুধুমাত্র নির্দিষ্ট সংখ্যক সফলতার সংখ্যা (0, 1, 2, ..., n) নির্দেশ করে, তাকে দ্বিপদী চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, একটি দ্বিপদী বিন্যাসের গড় 4 এবং ভেদাঙ্ক 8 হওয়া সম্ভব নয়।

   ব্যাখ্যা:
   দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে আমরা জানি,
   গড় = $np$
   ভেদাঙ্ক = $npq$
   যেহেতু সফলতার সম্ভাবনা $p$ এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনা $q$ উভয়েই ধনাত্মক এবং $q = 1 - p < 1$, সেহেতু সর্বদা $npq < np$ হবে; অর্থাৎ দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাঙ্ক সবসময় গড়ের চেয়ে ছোট হয়।
   উদ্দীপকের তথ্য অনুযায়ী, গড় = 4 এবং ভেদাঙ্ক = 8, যেখানে ভেদাঙ্ক > গড়। এছাড়া, $q = \frac{npq}{np} = \frac{8}{4} = 2$, যা অসম্ভব; কারণ সম্ভাবনার মান কখনো 1-এর বেশি হতে পারে না ($0 < q < 1$)। সুতরাং, গড় 4 এবং ভেদাঙ্ক 8 হওয়া সম্ভব নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   মোট নির্বাচিত পরীক্ষার্থীর সংখ্যা, $n = 15$
   একজন পরীক্ষার্থী মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা, $p = 55\% = 0.55$
   অতএব, মেয়ে না হওয়ার সম্ভাবনা, $q = 1 - p = 1 - 0.55 = 0.45$

   ধরি, নির্বাচিত পরীক্ষার্থীদের মধ্যে মেয়ে পরীক্ষার্থীর সংখ্যা $X$ একটি দ্বিপদী চলক।
   দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}; \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$

   অতএব, 7 জন মেয়ে পরীক্ষার্থী হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(X = 7) = \binom{15}{7} (0.55)^7 (0.45)^{15-7}$
   $= \binom{15}{7} (0.55)^7 (0.45)^8$
   $= 6435 \times 0.01522435 \times 0.00168151$
   $\approx 0.1647$

   অতএব, দৈবভাবে নির্বাচিত পরীক্ষার্থীদের মধ্যে 7 জন মেয়ে পরীক্ষার্থী হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় 0.1647 বা 16.47%।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে পাই,
   $n = 15$, $p = 0.55$, $q = 0.45$

   দ্বিপদী বিন্যাসের বঙ্কিমতাঙ্ক (Skewness) $\sqrt{\beta_1}$ নির্ণয়ের সূত্র:
   $\sqrt{\beta_1} = \frac{q - p}{\sqrt{npq}}$

   এখানে,
   $q - p = 0.45 - 0.55 = -0.10$
   ভেদাঙ্ক, $npq = 15 \times 0.55 \times 0.45 = 3.7125$
   $\sqrt{npq} = \sqrt{3.7125} \approx 1.9268$

   অতএব,
   $\sqrt{\beta_1} = \frac{-0.10}{1.9268} \approx -0.0519$

   মতামত:
   যেহেতু বঙ্কিমতাঙ্কের মান ঋণাত্মক ($\sqrt{\beta_1} < 0$), তাই বিন্যাসটি ঋণাত্মক বঙ্কিম (Negatively Skewed) বা বামে ঢালু। তবে মানটি শূন্যের খুব কাছাকাছি হওয়ায় বিন্যাসটি প্রায় প্রতিসমতার কাছাকাছি হলেও সার্বিকভাবে ঋণাত্মক বঙ্কিম বিন্যাস।