পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সমগ্রক হতে বিজ্ঞানসম্মত উপায়ে প্রতিনিধিত্বশীল নমুনা নির্বাচনের প্রক্রিয়া বা পদ্ধতিকে নমুনায়ন (Sampling) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নমুনা জরিপ ও শুমারি জরিপের মধ্যে শুমারি জরিপে অধিক সময় প্রয়োজন হয়।

   কারণ, শুমারি জরিপে সমগ্রকের অন্তর্গত প্রতিটি একক বা উপাদান থেকে তথ্য সংগ্রহ করতে হয়। সমগ্রকের আকার সাধারণত অত্যন্ত বৃহৎ হওয়ায় সকল এককের কাছে গিয়ে তথ্য সংগ্রহ, প্রক্রিয়াকরণ ও বিশ্লেষণ করতে প্রচুর সময়ের প্রয়োজন হয়। অন্যদিকে, নমুনা জরিপে সমগ্রক থেকে নির্বাচিত কেবল নির্দিষ্ট কিছু প্রতিনিধিত্বশীল এককের উপর তথ্য সংগ্রহ করা হয় বলে এতে তুলনামূলকভাবে অনেক কম সময় লাগে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত সমগ্রকের মানগুলো হলো: $N = 4$ এবং মানগুলো $X = 3, 4, 5, 6$।

   সমগ্রকের গড়,
   $\mu = \frac{\sum X}{N} = \frac{3 + 4 + 5 + 6}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

   সমগ্রকের মানগুলোর বর্গের সমষ্টি,
   $\sum X^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 9 + 16 + 25 + 36 = 86$

   অতএব, সমগ্রক ভেদাঙ্ক ($\sigma^2$):
   $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{N} - \mu^2 = \frac{86}{4} - (4.5)^2 = 21.5 - 20.25 = 1.25$

   সুতরাং, নির্ণেয় সমগ্রক ভেদাঙ্ক $1.25$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শিক্ষার্থীর মন্তব্যটি যাচাই করার জন্য আমাদের দেখাতে হবে যে, নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান সমগ্রক গড়ের সমান, অর্থাৎ $E(\bar{x}) = \mu$।

   উদ্দীপক অনুসারে, সমগ্রকের আকার $N = 4$ এবং নমুনা আকার $n = 2$।
   পুনঃস্থাপন না করে (WOR) মোট সম্ভাব্য নমুনার সংখ্যা $= {}^N C_n = {}^4 C_2 = 6$ টি।

   সম্ভাব্য নমুনাগুলো এবং তাদের গড় ($\bar{x}$) নিম্নে নির্ণয় করা হলো:
   ১. $(3, 4) \implies \bar{x}_1 = \frac{3+4}{2} = 3.5$
   ২. $(3, 5) \implies \bar{x}_2 = \frac{3+5}{2} = 4.0$
   ৩. $(3, 6) \implies \bar{x}_3 = \frac{3+6}{2} = 4.5$
   ৪. $(4, 5) \implies \bar{x}_4 = \frac{4+5}{2} = 4.5$
   ৫. $(4, 6) \implies \bar{x}_5 = \frac{4+6}{2} = 5.0$
   ৬. $(5, 6) \implies \bar{x}_6 = \frac{5+6}{2} = 5.5$

   যেহেতু প্রতিটি নমুনা চয়নের সম্ভাবনা সমান এবং তা $P(\bar{x}) = \frac{1}{6}$, সুতরাং নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান:
   $E(\bar{x}) = \frac{\sum \bar{x}}{6} = \frac{3.5 + 4.0 + 4.5 + 4.5 + 5.0 + 5.5}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$

   'গ' হতে আমরা পেয়েছি, সমগ্রক গড় $\mu = 4.5$।

   যেহেতু $E(\bar{x}) = \mu = 4.5$, তাই প্রমাণিত হয় যে নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের একটি নিরপেক্ষ নিরূপক।
   অতএব, শিক্ষার্থীর মন্তব্যটি সঠিক।