পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষায় কোনো ঘটনা $A$ এর অনুকূল ফলাফল ব্যতীত নমুনা ক্ষেত্রের অবশিষ্ট সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত ঘটনাকে $A$ এর পরিপূরক ঘটনা বলে। একে $A^c$ বা $\bar{A}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে নমুনা ক্ষেত্র $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
   জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা, $A = \{2, 4, 6\}$
   তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাবার ঘটনা, $B = \{3, 6\}$
   এখানে, $A \cap B = \{6\} \neq \emptyset$।
   যেহেতু ঘটনাদ্বয়ের মধ্যে সাধারণ উপাদান রয়েছে (উভয় ঘটনা একসাথে ঘটা সম্ভব), তাই ঘটনাদ্বয় বর্জনশীল নয়; এরা অবর্জনশীল ঘটনা।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি,
   মাহিমার সঠিক উত্তর প্রদান করার ঘটনা $M$, সুতরাং $P(M) = 40\% = 0.40$
   কাকনের সঠিক উত্তর প্রদান করার ঘটনা $K$, সুতরাং $P(K) = 45\% = 0.45$
   উভয়েরই সঠিক উত্তর প্রদান করার ঘটনা $M \cap K$, সুতরাং $P(M \cap K) = 18\% = 0.18$

   শুধুমাত্র মাহিমার সঠিক উত্তর প্রদান করার সম্ভাবনা হলো:
   $P(M \cap K^c) = P(M) - P(M \cap K)$
   $= 0.40 - 0.18$
   $= 0.22$

   অতএব, শুধুমাত্র মাহিমার সঠিক উত্তর প্রদান করার সম্ভাবনা 0.22 (বা 22%)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেকোনো দুটি ঘটনা সম্পূর্ণ ঘটনা (Exhaustive events) হবে যদি তাদের সংযোগ ঘটনার সম্ভাবনা ১ এর সমান হয়, অর্থাৎ $P(M \cup K) = 1$ হয়।

   আমরা জানি,
   $P(M \cup K) = P(M) + P(K) - P(M \cap K)$
   উদ্দীপক হতে মান বসিয়ে পাই,
   $P(M \cup K) = 0.40 + 0.45 - 0.18$
   $= 0.85 - 0.18$
   $= 0.67$

   যেহেতু $P(M \cup K) = 0.67 \neq 1$, তাই ঘটনাদ্বয় সমগ্র নমুনা ক্ষেত্র গঠন করে না।
   অতএব, মাহিমা এবং কাকনের সঠিক উত্তর প্রদান করার ঘটনাদ্বয় সম্পূর্ণ ঘটনা নয়।