পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিবেশন বা গণসংখ্যা রেখার শীর্ষভাগ কতটা তীক্ষ্ণ বা চ্যাপ্টা, তা পরিমাপ করার পরিসংখ্যানিক পদ্ধতিকে সূঁচালতা (Kurtosis) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বঙ্কিমতাঙ্ক বা কার্ল পিয়ারসনের বঙ্কিমতাঙ্ক/সহগ $\beta_1 = -0.35$ বলতে বোঝায় নিবেশনটি ঋণাত্মক বা বামে বঙ্কিম। এর অর্থ হলো নিবেশনটির গণসংখ্যা রেখার বামদিকের লেজ ডানদিকের চেয়ে দীর্ঘতর এবং এতে গড় মধ্যমার চেয়ে ছোট ও মধ্যমা প্রচুরকের চেয়ে ছোট (গড় < মধ্যমা < প্রচুরক)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপাত্তসমূহ: 3, 7, 1, 8, 7, 3। এখানে উপাত্ত সংখ্যা, $n = 6$।

   গাণিতিক গড়, $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{3 + 7 + 1 + 8 + 7 + 3}{6} = \frac{29}{6} \approx 4.8333$

   বিচ্যুতিসমূহ $(x_i - \bar{x})$:
   $3 - 4.8333 = -1.8333$
   $7 - 4.8333 = 2.1667$
   $1 - 4.8333 = -3.8333$
   $8 - 4.8333 = 3.1667$
   $7 - 4.8333 = 2.1667$
   $3 - 4.8333 = -1.8333$

   বিচ্যুতির চতুর্থ ঘাত $(x_i - \bar{x})^4$:
   $(-1.8333)^4 = 11.296$
   $(2.1667)^4 = 22.038$
   $(-3.8333)^4 = 215.918$
   $(3.1667)^4 = 100.562$
   $(2.1667)^4 = 22.038$
   $(-1.8333)^4 = 11.296$

   সমষ্টি $\sum (x_i - \bar{x})^4 = 11.296 + 22.038 + 215.918 + 100.562 + 22.038 + 11.296 = 383.148$

   অতএব, ৪র্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত, $\mu_4 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^4}{n} = \frac{383.148}{6} \approx 63.86$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বঙ্কিমতা ও সূঁচালতা নির্ণয়ের জন্য ২য়, ৩য় ও ৪র্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত প্রয়োজন:

   ১. $\sum (x_i - \bar{x})^2 = (-1.8333)^2 + (2.1667)^2 + (-3.8333)^2 + (3.1667)^2 + (2.1667)^2 + (-1.8333)^2$
   $= 3.361 + 4.695 + 14.694 + 10.028 + 4.695 + 3.361 = 40.834$
   $\mu_2 = \frac{40.834}{6} \approx 6.806$

   ২. $\sum (x_i - \bar{x})^3 = (-1.8333)^3 + (2.1667)^3 + (-3.8333)^3 + (3.1667)^3 + (2.1667)^3 + (-1.8333)^3$
   $= -6.162 + 10.171 - 56.329 + 31.755 + 10.171 - 6.162 = -16.556$
   $\mu_3 = \frac{-16.556}{6} \approx -2.759$

   ৩. বঙ্কিমতাঙ্ক পরিমাপ:
   বঙ্কিমতাঙ্ক $\beta_1 = \frac{\mu_3^2}{\mu_2^3} = \frac{(-2.759)^2}{(6.806)^3} = \frac{7.612}{315.26} \approx 0.024$
   যেহেতু $\mu_3 < 0$, সেহেতু বঙ্কিমতার প্রকৃতি হবে ঋণাত্মক বঙ্কিম ($\gamma_1 = -\sqrt{\beta_1} = -0.155$)।

   ৪. সূঁচালতাঙ্ক পরিমাপ:
   সূঁচালতাঙ্ক $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{63.86}{(6.806)^2} = \frac{63.86}{46.32} \approx 1.38$

   মন্তব্য:

   • বঙ্কিমতা: $\mu_3$ ঋণাত্মক (অথবা $\gamma_1 < 0$) হওয়ায় নিবেশনটি ঋণাত্মক বঙ্কিম বা বামে হেলানো।
   • সূঁচালতা: যেহেতু $\beta_2 < 3$, তাই নিবেশনটি অনতিসূঁচালো বা চ্যাপ্টা (Platykurtic)।