পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নির্দিষ্ট বা বর্তমান সময়ের চলকের মানকে অতীত বা পূর্ববর্তী যে সময়ের মানের সাথে তুলনা করা হয়, তাকে ভিত্তি বছর (Base Year) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ব্যারোমিটার যেমন বায়ুমণ্ডলের চাপের হ্রাস-বৃদ্ধি পরিমাপ করে আবহাওয়ার পূর্বাভাস দেয়, তেমনি সূচক সংখ্যার সাহায্যে একটি দেশের অর্থনৈতিক বিভিন্ন চলকের (যেমন: উৎপাদন, মূল্যস্তর, আমদানি-রপ্তানি, জাতীয় আয় ইত্যাদি) পরিবর্তন পরিমাপ করা যায়। এটি দেশের সামগ্রিক অর্থনৈতিক পরিস্থিতি স্থিতিশীল, সমৃদ্ধিশীল নাকি মন্দার দিকে যাচ্ছে তা নির্দেশ করে। এ কারণেই সূচক সংখ্যাকে অর্থনীতির ব্যারোমিটার বলা হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে ২০১০ সালকে ভিত্তি বছর ($0$) এবং ২০১৩ সালকে চলতি বছর ($1$) হিসেবে বিবেচনা করি।

   প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:
   দ্রব্য ক: $p_0 = 12$, $q_0 = 4$, $p_1 = 15$, $q_1 = 6$
   দ্রব্য খ: $p_0 = 8$, $q_0 = 10$, $p_1 = 10$, $q_1 = 8$
   দ্রব্য গ: $p_0 = 14$, $q_0 = 3$, $p_1 = 16$, $q_1 = 4$
   দ্রব্য ঘ: $p_0 = 20$, $q_0 = 5$, $p_1 = 25$, $q_1 = 6$

   ল্যাসপিয়ার্সের মূল্য সূচক সংখ্যার জন্য প্রয়োজনীয় মানসমূহ:
   ১. $p_1 q_0$:
   ক: $15 \times 4 = 60$
   খ: $10 \times 10 = 100$
   গ: $16 \times 3 = 48$
   ঘ: $25 \times 5 = 125$
   $\sum p_1 q_0 = 60 + 100 + 48 + 125 = 333$

   ২. $p_0 q_0$:
   ক: $12 \times 4 = 48$
   খ: $8 \times 10 = 80$
   গ: $14 \times 3 = 42$
   ঘ: $20 \times 5 = 100$
   $\sum p_0 q_0 = 48 + 80 + 42 + 100 = 270$

   ল্যাসপিয়ার্সের মূল্য সূচকসংখ্যা ($P_{01}^L$):
   $P_{01}^L = \frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \times 100$
   $= \frac{333}{270} \times 100 = 123.33$

   অতএব, ল্যাসপিয়ার্সের মূল্য সূচকসংখ্যা হলো ১২৩.৩৩।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ফিশারের সূচক সংখ্যার সূত্রটি সময় পাল্টানো পরীক্ষায় (Time Reversal Test) উত্তীর্ণ হওয়ার শর্ত হলো:
   $P_{01} \times P_{10} = 1$

   এখানে ফিশারের সূচক সূত্রানুসারে,
   $P_{01} = \sqrt{\frac{\sum p_1 q_0}{\sum p_0 q_0} \times \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_1}}$
   এবং সময় পাল্টিয়ে (০-এর স্থানে ১ এবং ১-এর স্থানে ০ বসিয়ে) পাই,
   $P_{10} = \sqrt{\frac{\sum p_0 q_1}{\sum p_1 q_1} \times \frac{\sum p_0 q_0}{\sum p_1 q_0}}$

   উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত ও প্রয়োজনীয় মানসমূহ নির্ণয় করি:
   ১. $\sum p_1 q_0 = (15 \times 4) + (10 \times 10) + (16 \times 3) + (25 \times 5) = 60 + 100 + 48 + 125 = 333$
   ২. $\sum p_0 q_0 = (12 \times 4) + (8 \times 10) + (14 \times 3) + (20 \times 5) = 48 + 80 + 42 + 100 = 270$
   ৩. $\sum p_1 q_1 = (15 \times 6) + (10 \times 8) + (16 \times 4) + (25 \times 6) = 90 + 80 + 64 + 150 = 384$
   ৪. $\sum p_0 q_1 = (12 \times 6) + (8 \times 8) + (14 \times 4) + (20 \times 6) = 72 + 64 + 56 + 120 = 312$

   এখন,
   $P_{01} = \sqrt{\frac{333}{270} \times \frac{384}{312}}$
   $P_{10} = \sqrt{\frac{312}{384} \times \frac{270}{333}}$

   অতএব,
   $P_{01} \times P_{10} = \sqrt{\frac{333}{270} \times \frac{384}{312}} \times \sqrt{\frac{312}{384} \times \frac{270}{333}}$
   $= \sqrt{\frac{333}{270} \times \frac{384}{312} \times \frac{312}{384} \times \frac{270}{333}} = \sqrt{1} = 1$

   যেহেতু $P_{01} \times P_{10} = 1$, তাই উদ্দীপকের তথ্যের আলোকে প্রমাণিত হলো যে ফিশারের সূচক সংখ্যার সূত্রটি সময় পাল্টানো পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়।