পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নির্দিষ্ট কোনো পূর্বশর্তের অধীনে কোনো কাজ বারবার সম্পন্ন করার সুনির্দিষ্ট প্রক্রিয়াকে পরীক্ষণ (Experiment) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফলের সেট হলো সমগ্রক বা নমুনা ক্ষেত্র $S$। যেকোনো ঘটনা $A$-এর জন্য অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা কখনোই নমুনা ক্ষেত্রের মোট ফলাফলের সংখ্যার চেয়ে বেশি হতে পারে না। যখন ঘটনাটি একটি নিশ্চিত ঘটনা হয়, তখন অনুকূল ফলাফল মোট ফলাফলের সমান হয়, অর্থাৎ $P(S) = \frac{n(S)}{n(S)} = 1$। সম্ভাবনা কখনোই ১-এর বেশি বা ঋণাত্মক হতে পারে না; সম্ভাবনার মান সর্বদা ০ থেকে ১-এর মধ্যে অবস্থান করে ($0 \le P(A) \le 1$)। তাই সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান ১।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বাক্সে মোট বলের সংখ্যা $= ৭ + ৫ + ৩ = ১৫$ টি।
   ১৫টি বল হতে দৈবভাবে ৩টি বল চয়নের মোট উপায়:
   $n(S) = \binom{15}{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$

   নির্বাচিত বল ৩টি ভিন্ন রঙের হওয়ার অর্থ হলো ১টি সাদা, ১টি কালো এবং ১টি সবুজ বল পাওয়া।
   ৭টি সাদা থেকে ১টি, ৫টি কালো থেকে ১টি এবং ৩টি সবুজ বল থেকে ১টি বল চয়নের উপায়:
   $n(A) = \binom{7}{1} \times \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = ৭ \times ৫ \times ৩ = ১০৫$

   অতএব, নির্বাচিত বল তিনটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{১০৫}{৪৫৫} = \frac{৩}{১৩} \approx ০.২৩০৮$

   সুতরাং, বল তিনটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{৩}{১৩}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, ৩টি বলের মধ্যে কালো বলের সংখ্যা $X$।
   কালো বলের সম্ভাব্য মান হতে পারে $X = 0, 1, 2, 3$।

   ১. ঘটনা $A$: "কমপক্ষে ২টি কালো বল পাওয়া", অর্থাৎ $X \ge 2$, যা নির্দেশ করে $X = 2$ অথবা $X = 3$।
   ২. ঘটনা $B$: "সর্বোচ্চ ১টি কালো বল পাওয়া", অর্থাৎ $X \le 1$, যা নির্দেশ করে $X = 0$ অথবা $X = 1$।

   আমরা জানি, দুটি ঘটনা পরস্পর পরিপূরক হবে যদি:
   (i) তারা পরস্পর বর্জনশীল হয় ($A \cap B = \emptyset$) এবং
   (ii) তাদের সম্ভাবনার সমষ্টি ১ হয় ($P(A) + P(B) = 1$)।

   এখানে,
   $P(X=0) = \frac{\binom{5}{0} \times \binom{10}{3}}{455} = \frac{1 \times 120}{455} = \frac{120}{455}$
   $P(X=1) = \frac{\binom{5}{1} \times \binom{10}{2}}{455} = \frac{5 \times 45}{455} = \frac{225}{455}$
   $P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \times \binom{10}{1}}{455} = \frac{10 \times 10}{455} = \frac{100}{455}$
   $P(X=3) = \frac{\binom{5}{3} \times \binom{10}{0}}{455} = \frac{10 \times 1}{455} = \frac{10}{455}$

   এখন,
   $P(A) = P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = \frac{100 + 10}{455} = \frac{110}{455}$
   $P(B) = P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = \frac{120 + 225}{455} = \frac{345}{455}$

   যেহেতু ঘটনা $A$ এবং ঘটনা $B$ একসাথে ঘটতে পারে না এবং
   $P(A) + P(B) = \frac{110}{455} + \frac{345}{455} = \frac{455}{455} = 1$,
   কিংবা $B = A^c$,
   তাই ঘটনা দুটি পরস্পর পরিপূরক।

   অতএব, রফিকের ধারণাটি সম্পূর্ণ সঠিক ও যুক্তিসংগত।