পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির প্রতিটি মান থেকে তাদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের বর্গের সমষ্টিকে মোট পর্যবেক্ষণ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে ভেদাঙ্ক (Variance) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যসারির প্রতিটি পর্যবেক্ষণ মান যদি পরস্পরের সমান বা একটি ধ্রুবক সংখ্যা হয়, তবে ভেদাঙ্কের মান সর্বনিম্ন (অর্থাৎ শূন্য) হয়।
   কারণ, যদি $x_1 = x_2 = ... = x_n = c$ হয়, তবে তাদের গাণিতিক গড় $\bar{x} = c$ হবে। ফলে প্রতিটি মান থেকে গড়ের বিচ্যুতি $(x_i - \bar{x}) = c - c = 0$ হবে। অতএব, ভেদাঙ্ক $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 0$ হবে। যেহেতু ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এর সর্বনিম্ন মান শূন্য।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের তথ্য থেকে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি প্রস্তুত করা হলো:

   শ্রেণি ব্যাপ্তি (বয়স)	গণসংখ্যা ($f_i$)	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($F_c$)
   ০ - ১৫	১৫	১৫
   ১৫ - ৩০	৫	২০
   ৩০ - ৪৫	৪	২৪
   ৪৫ - ৬০	৮	৩২
   ৬০ - ৭৫	৮	৪০
   মোট	$N = ৪০$

   তৃতীয় চতুর্থক ($Q_3$) এর অবস্থান = $\frac{3N}{4} = \frac{3 \times 40}{4} = 30$-তম পদ।
   ক্রমযোজিত গণসংখ্যা পর্যালোচনা করে দেখা যায়, ৩০-তম পদটি (৪৫ - ৬০) শ্রেণিতে অবস্থিত।
   অতএব, তৃতীয় চতুর্থক শ্রেণি হলো ৪৫ - ৬০।

   এখানে,
   $L = ৪৫$ (শ্রেণির নিম্নসীমা)
   $\frac{3N}{4} = ৩০$
   $F_c = ২৪$ (পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা)
   $f_{Q_3} = ৮$ (চতুর্থক শ্রেণির গণসংখ্যা)
   $c = ১৫$ (শ্রেণি ব্যবধান)

   $Q_3 = L + \left(\frac{\frac{3N}{4} - F_c}{f_{Q_3}}\right) \times c$
   $Q_3 = ৪৫ + \left(\frac{৩০ - ২৪}{৮}\right) \times ১৫ = ৪৫ + \left(\frac{৬}{৮}\right) \times ১৫ = ৪৫ + ১১.২৫ = ৫৬.২৫$

   অতএব, নির্ণেয় তৃতীয় চতুর্থক হলো ৫৬.২৫ বছর।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় গণনাসারণি প্রস্তুত করা হলো (ধরি, কল্পিত গড় $a = ৩৭.৫$, শ্রেণি ব্যবধান $c = ১৫$, $u_i = \frac{x_i - a}{c}$):

   | শ্রেণি | মধ্যমান ($x_i$) | গণসংখ্যা ($f_i$) | $u_i$ | $f_i u_i$ | $f_i u_i^2$ | $|x_i - \bar{x}|$ | $f_i |x_i - \bar{x}|$ |
   | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
   | ০ - ১৫ | ৭.৫ | ১৫ | -২ | -৩০ | ৬০ | ২৭.৭৫ | ৪১৬.২৫ |
   | ১৫ - ৩০ | ২২.৫ | ৫ | -১ | -৫ | ৫ | ১২.৭৫ | ৬৩.৭৫ |
   | ৩০ - ৪৫ | ৩৭.৫ | ৪ | ০ | ০ | ০ | ২.২৫ | ৯.০০ |
   | ৪৫ - ৬০ | ৫২.৫ | ৮ | ১ | ৮ | ৮ | ১৭.২৫ | ১৩৮.০০ |
   | ৬০ - ৭৫ | ৬৭.৫ | ৮ | ২ | ১৬ | ৩২ | ৩২.২৫ | ২৫৮.০০ |
   | মোট | - | $N=৪০$ | - | -১১ | ১০৫ | - | ৮৮৫.০ |

   ১. গাণিতিক গড় ($\bar{x}$):
   $\bar{x} = a + \frac{\sum f_i u_i}{N} \times c = ৩৭.৫ + \frac{-১১}{৪০} \times ১৫ = ৩৭.৫ - ৪.১২৫ = ৩৫.২৫$

   ২. গড় ব্যবধান (Mean Deviation, $MD$):
   $MD(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{৮৮৫}{৪০} = ২২.১২৫$

   ৩. পরিমিত ব্যবধান (Standard Deviation, $\sigma$):
   $\sigma = c \times \sqrt{\frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i u_i}{N}\right)^2}$
   $\sigma = ১৫ \times \sqrt{\frac{১০৫}{৪০} - \left(\frac{-১১}{৪০}\right)^2} = ১৫ \times \sqrt{২.৬২৫ - ০.০৭৫৬২৫} = ১৫ \times \sqrt{২.৫৪৯৩৭৫} = ১৫ \times ১.৫৯৬৭ \approx ২৩.৯৫$

   তুলনা:
   এখানে প্রাপ্ত গড় ব্যবধান $MD = ২২.১২৫$ এবং পরিমিত ব্যবধান $\sigma \approx ২৩.৯৫$।
   দেখা যাচ্ছে যে, পরিমিত ব্যবধান গড় ব্যবধান অপেক্ষা বৃহত্তর ($\sigma > MD$), যা অনপেক্ষ বিস্তার পরিমাপের স্বাভাবিক নিয়মের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।