পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের প্রতিটি সম্ভাব্য মান এবং তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ওই দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা (Mathematical Expectation) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর জন্য $E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$।

   এখানে, চলক $x$ এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন, তার বর্গ $x_i^2$ সর্বদা অঋণাত্মক (বা ধনাত্মক) হয়, অর্থাৎ $x_i^2 \ge 0$। আবার, সম্ভাব্যতার মৌলিক স্বীকার্য অনুসারে যেকোনো মানের সম্ভাবনা সর্বদা অঋণাত্মক বা ধনাত্মক, অর্থাৎ $P(x_i) > 0$।

   যেহেতু দুটি ধনাত্মক বা অঋণাত্মক রাশির গুণফল এবং তাদের সমষ্টি সর্বদা অঋণাত্মক বা ধনাত্মক হয়, তাই $E(x^2)$ এর মান সর্বদা অঋণাত্মক বা ধনাত্মক হবে (বাস্তব ক্ষেত্রে চলকের মান শূন্য ব্যতীত অন্যান্য মান গ্রহণ করলে $E(x^2) > 0$ হয়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, সম্ভাবনার মোট সমষ্টি সর্বদা ১।
   সুতরাং, $\sum P(x) = 1$
   $\implies 0.05 + 0.10 + 0.20 + K + 0.30 = 1$
   $\implies 0.65 + K = 1$
   $\implies K = 1 - 0.65 = 0.35$

   অতএব, $x = 3$ এর জন্য $P(x) = 0.35$।

   এখন, উদ্দীপকের তথ্যের গাণিতিক প্রত্যাশা:
   $E(x) = \sum x \cdot P(x)$
   $= (-3 \times 0.05) + (-2 \times 0.10) + (1 \times 0.20) + (3 \times 0.35) + (4 \times 0.30)$
   $= -0.15 - 0.20 + 0.20 + 1.05 + 1.20$
   $= 2.1$

   সুতরাং, নির্ণেয় গাণিতিক প্রত্যাশা হলো $2.1$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ‘গ’ হতে পাই, $K = 0.35$ এবং $E(x) = 2.1$।

   ১ম অংশ: $E(5x^3 + 10)$ নির্ণয়:
   আমরা জানি, $E(5x^3 + 10) = 5E(x^3) + 10$

   এখানে,
   $E(x^3) = \sum x^3 \cdot P(x)$
   $= (-3)^3(0.05) + (-2)^3(0.10) + (1)^3(0.20) + (3)^3(0.35) + (4)^3(0.30)$
   $= (-27 \times 0.05) + (-8 \times 0.10) + (1 \times 0.20) + (27 \times 0.35) + (64 \times 0.30)$
   $= -1.35 - 0.80 + 0.20 + 9.45 + 19.20$
   $= 26.7$

   অতএব,
   $E(5x^3 + 10) = 5 \times 26.7 + 10 = 133.5 + 10 = 143.5$

   ২য় অংশ: $V(5x + 10)$ নির্ণয়:
   ভেদাঙ্কের ধর্ম অনুসারে, $V(ax + b) = a^2 V(x)$
   সুতরাং, $V(5x + 10) = 5^2 V(x) = 25 V(x)$

   আমরা জানি, $V(x) = E(x^2) - [E(x)]^2$
   এখন,
   $E(x^2) = \sum x^2 \cdot P(x)$
   $= (-3)^2(0.05) + (-2)^2(0.10) + (1)^2(0.20) + (3)^2(0.35) + (4)^2(0.30)$
   $= (9 \times 0.05) + (4 \times 0.10) + (1 \times 0.20) + (9 \times 0.35) + (16 \times 0.30)$
   $= 0.45 + 0.40 + 0.20 + 3.15 + 4.80$
   $= 9.0$

   অতএব, $V(x) = 9.0 - (2.1)^2 = 9.0 - 4.41 = 4.59$

   সুতরাং,
   $V(5x + 10) = 25 \times 4.59 = 114.75$

   তুলনা:
   এখানে,
   $E(5x^3 + 10) = 143.5$ এবং $V(5x + 10) = 114.75$
   দেখা যাচ্ছে যে, $E(5x^3 + 10) > V(5x + 10)$,
   অর্থাৎ $E(5x^3 + 10)$ এর মান $V(5x + 10)$ অপেক্ষা $(143.5 - 114.75) = 28.75$ বেশি।