পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যদি কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলক X এমন মান গ্রহণ করে যার সম্ভাবনা পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক মেনে চলে, তবে সেই চলককে পৈঁসু চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   না, পৈঁসু বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হতে পারে না।
   কারণ, পৈঁসু বিন্যাসের গড় হলো এর পরামিতি λ (ল্যাম্বডা), যা একটি নির্দিষ্ট সময় বা স্থানে কোনো ঘটনার মোট সফলতার গড় সংখ্যা নির্দেশ করে। বাস্তব ক্ষেত্রে কোনো ঘটনার সংঘটন সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, অর্থাৎ সর্বদা λ > 0 হয়। তাই পৈঁসু বিন্যাসের গড় সর্বদা ধনাত্মক, কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বিষাক্ত সাপের কামড়ে মৃত্যুর সংখ্যা একটি পৈঁসু চলক X।
   এখানে, গড় বা পরামিতি λ = 2।

   পৈঁসু বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   P(X = x) = (e⁻ᵝ · λˣ) / x! ; x = 0, 1, 2, ...

   সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা:
   P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
   = (e⁻² · 2⁰) / 0! + (e⁻² · 2¹) / 1!
   = e⁻² (1 + 2)
   = 3 · e⁻²
   ≈ 3 × 0.13534 = 0.4060 (বা 40.60%)

   অতএব, সর্বোচ্চ একজন মারা যাওয়ার সম্ভাবনা 0.4060।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পৈঁসু বিন্যাসের আকৃতি ও প্রকৃতি যথাক্রমে বঙ্কিমতাঙ্ক (β₁ বা γ₁) এবং সুঁচালতাঙ্ক (β₂ বা γ₂) দ্বারা পরিমাপ করা হয়।
   এখানে, পরামিতি λ = 2।

   ১. আকৃতি (বঙ্কিমতাঙ্ক পরিমাপ):
   γ₁ = 1 / √λ = 1 / √2 ≈ 0.7071
   যেহেতু γ₁ > 0 (ধনাত্মক), তাই বিন্যাসটির আকৃতি ধনাত্মক বঙ্কিম (ডানদিকে হেলানো)।

   ২. প্রকৃতি (সুঁচালতাঙ্ক পরিমাপ):
   β₂ = 3 + (1 / λ) = 3 + (1 / 2) = 3.5
   (অথবা, γ₂ = β₂ - 3 = 1 / λ = 0.5 > 0)
   যেহেতু β₂ > 3 (বা γ₂ > 0), তাই বিন্যাসটির প্রকৃতি অতি-সুঁচালো (Leptokurtic)।

   মন্তব্য: বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম এবং অতি-সুঁচালো।