পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে দৈব পরীক্ষায় প্রতিটি চেষ্টার ফলাফল কেবল দুটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা—সাফল্য ও ব্যর্থতায় বিভক্ত এবং প্রতিটি চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা ধ্রুব থাকে, তাকে দ্বিপদী পরীক্ষা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি n ও p হলে এর গড় = np এবং ভেদাঙ্ক = npq, যেখানে q = 1 - p (0 < q < 1)।
   যেহেতু q একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ (0 < q < 1), তাই ভেদাঙ্ক = npq = (np) × q < np।
   অর্থাৎ দ্বিপদী বিন্যাসের ভেদাঙ্ক সর্বদা এর গড় অপেক্ষা ছোট হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে জয়ী হওয়ার সম্ভাবনা, p = 0.40
   পরাজিত হওয়ার সম্ভাবনা, q = 1 - p = 1 - 0.40 = 0.60
   উদ্দীপকের বাক্য অনুযায়ী ম্যাচের সংখ্যা n = 1 (বা মুদ্রণভেদে n = 5)।
   যদি n = 5 বিবেচনা করা হয়:
   ভেদাঙ্ক = npq = 5 × 0.40 × 0.60 = 1.2
   (আর যদি উদ্দীপকের লিখিত n = 1 বিবেচনা করা হয়, তবে ভেদাঙ্ক = 1 × 0.40 × 0.60 = 0.24)।
   সাধারণত এইচএসসি পরীক্ষার মূল প্রশ্নানুযায়ী n = 5 হলে ভেদাঙ্ক 1.2।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কোনো টুর্নামেন্টে জয়ী হওয়া ম্যাচের সংখ্যা X।
   এখানে p = 0.40, q = 0.60।
   উদ্দীপকের পাঠ্য অনুযায়ী n = 5 (প্রশ্নপত্রে '১টি' মুদ্রণ হলে n=1 ম্যাচে কমপক্ষে ৩টি জয় অসম্ভব, সম্ভাবনা ০%)।
   n = 5 ম্যাচের ক্ষেত্রে:
   P(X = x) = ⁵Cₓ (0.40)ˣ (0.60)⁵⁻ˣ

   কমপক্ষে 3টি ম্যাচ জয়ের সম্ভাবনা:
   P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
   P(X = 3) = ⁵C₃ (0.4)³ (0.6)² = 10 × 0.064 × 0.36 = 0.2304
   P(X = 4) = ⁵C₄ (0.4)⁴ (0.6)¹ = 5 × 0.0256 × 0.6 = 0.0768
   P(X = 5) = ⁵C₅ (0.4)⁵ (0.6)⁰ = 1 × 0.01024 × 1 = 0.01024

   অতএব, P(X ≥ 3) = 0.2304 + 0.0768 + 0.01024 = 0.31744 বা 31.74%

   কিন্তু ক্রিকেট বিশ্লেষকদের মতে উক্ত সম্ভাবনা 45% বা 0.45।
   যেহেতু নির্ণীত সম্ভাবনা (31.74%) বিশ্লেষকদের দাবিকৃত সম্ভাবনা (45%) এর সমান নয়, তাই ক্রিকেট বিশ্লেষকদের ধারণাটি সঠিক নয়।