পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির মানগুলোর কেন্দ্রীয় মান হতে দূরবর্তী অবস্থানের বা পারস্পরিক পার্থক্যের সাংখ্যিক পরিমাপকে বিস্তার পরিমাপ বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পরিসর হলো কোনো তথ্যসারির সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের মধ্যে পার্থক্য, অর্থাৎ:
   পরিসর ($R$) = সর্বোচ্চ মান ($X_{max}$) - সর্বনিম্ন মান ($X_{min}$)।

   যেহেতু পরিসর নির্ণয়ে শুধুমাত্র তথ্যসারির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান দুটি ব্যবহৃত হয় এবং এর মধ্যবর্তী অন্যান্য সকল মান সম্পূর্ণভাবে উপেক্ষিত থাকে, তাই তথ্যের মধ্যবর্তী কোনো মান পরিবর্তিত হলেও পরিসরের কোনো পরিবর্তন হয় না। এ কারণে বলা হয়, পরিসর তথ্যের সকল মানের উপর নির্ভর করে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, খামার D-এর সাত দিনের মুনাফার মানগুলো হলো:
   $X$: $9, 4, 5, 6, 8, 8, 7$ (হাজারে)
   এখানে, মোট পর্যবেক্ষণ সংখ্যা, $n = 7$

   মুনাফার গাণিতিক গড়, $\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{9 + 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 7}{7} = \frac{47}{7} \approx 6.714$ হাজার টাকা।

   গড় হতে মানগুলোর পরম বিচ্যুতি নির্ণয়:
   $|9 - 6.714| = 2.286$
   $|4 - 6.714| = 2.714$
   $|5 - 6.714| = 1.714$
   $|6 - 6.714| = 0.714$
   $|8 - 6.714| = 1.286$
   $|8 - 6.714| = 1.286$
   $|7 - 6.714| = 0.286$

   পরম বিচ্যুতিগুলোর সমষ্টি, $\sum |X - \bar{X}| = 2.286 + 2.714 + 1.714 + 0.714 + 1.286 + 1.286 + 0.286 = 10.286$

   অতএব, খামার D-এর গড় ব্যবধান,
   $MD(\bar{X}) = \frac{\sum |X - \bar{X}|}{n} = \frac{10.286}{7} \approx 1.47$ (হাজার টাকা) বা ১৪৭০ টাকা।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোন খামারটি বেশি স্থিতিশীল তা জানার জন্য উভয় খামারের মুনাফার ব্যবধানাঙ্ক ($CV$) নির্ণয় করে তুলনা করতে হবে। যে খামারের ব্যবধানাঙ্ক কম, সেটির মুনাফা বেশি স্থিতিশীল।

   খামার C-এর ক্ষেত্রে:
   মানগুলো ($Y$): $8, 7, 6, 7, 8, 9, 5$
   পর্যবেক্ষণ সংখ্যা, $n = 7$
   সমষ্টি, $\sum Y = 8 + 7 + 6 + 7 + 8 + 9 + 5 = 50$
   গাণিতিক গড়, $\bar{Y} = \frac{50}{7} \approx 7.143$ হাজার টাকা।

   বর্গের সমষ্টি, $\sum Y^2 = 8^2 + 7^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 5^2 = 64 + 49 + 36 + 49 + 64 + 81 + 25 = 368$

   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_C = \sqrt{\frac{\sum Y^2}{n} - (\bar{Y})^2} = \sqrt{\frac{368}{7} - (7.143)^2} = \sqrt{52.571 - 51.022} = \sqrt{1.549} \approx 1.245$

   খামার C-এর ব্যবধানাঙ্ক, $CV_C = \frac{\sigma_C}{\bar{Y}} \times 100\% = \frac{1.245}{7.143} \times 100\% \approx 17.43\%$

   খামার D-এর ক্ষেত্রে:
   মানগুলো ($X$): $9, 4, 5, 6, 8, 8, 7$
   পর্যবেক্ষণ সংখ্যা, $n = 7$
   $\sum X = 47$, গড় $\bar{X} = \frac{47}{7} \approx 6.714$ হাজার টাকা।

   বর্গের সমষ্টি, $\sum X^2 = 9^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 8^2 + 8^2 + 7^2 = 81 + 16 + 25 + 36 + 64 + 64 + 49 = 335$

   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_D = \sqrt{\frac{\sum X^2}{n} - (\bar{X})^2} = \sqrt{\frac{335}{7} - (6.714)^2} = \sqrt{47.857 - 45.078} = \sqrt{2.779} \approx 1.667$

   খামার D-এর ব্যবধানাঙ্ক, $CV_D = \frac{\sigma_D}{\bar{X}} \times 100\% = \frac{1.667}{6.714} \times 100\% \approx 24.83\%$

   মতামত:
   তুলনা করে দেখা যায় যে, $CV_C < CV_D$ (অর্থাৎ খামার C-এর ব্যবধানাঙ্ক খামার D অপেক্ষা কম)। অতএব, মুনাফার দৃষ্টিকোণ থেকে খামার C বেশি স্থিতিশীল বা নির্ভরযোগ্য।