পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নির্ভরশীল চলকের উপর স্বাধীন চলকের পরিবর্তনের প্রভাব পরিমাপক মানকে অথবা স্বাধীন চলকের প্রতি একক পরিবর্তনের ফলে নির্ভরশীল চলকের গড়ে যে পরিবর্তন ঘটে তাকে নির্ভরাঙ্ক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নির্ভরাঙ্কের মান পরিমাপের একক বা চলক নিরপেক্ষ নয়। কারণ নির্ভরাঙ্কের সূত্র হলো $b_{yx} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_x^2}$, যেখানে লবের একক চলকদ্বয়ের এককের গুণফল এবং হরের একক স্বাধীন চলকের এককের বর্গ। ফলে নির্ভরাঙ্কের একটি সুনির্দিষ্ট পরিমাপের একক থাকে (যেমন: প্রতি একক X-এর জন্য Y-এর পরিবর্তন)। মূলবিন্দু পরিবর্তন করলে এর মানের কোনো পরিবর্তন হয় না, তবে মাপনী পরিবর্তনের ওপর এটি নির্ভরশীল। তাই নির্ভরাঙ্ক চলক নিরপেক্ষ নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, স্বামীর বয়স $X$ এবং স্ত্রীর বয়স $Y$।
   এখানে $n = 10$ জোড়া তথ্য দেওয়া আছে:
   $X$: 25, 27, 32, 33, 30, 28, 25, 26, 27, 26
   $Y$: 18, 21, 22, 25, 27, 27, 25, 19, 21, 21

   সমষ্টি নির্ণয়:
   $\sum X = 25+27+32+33+30+28+25+26+27+26 = 279$
   $\sum Y = 18+21+22+25+27+27+25+19+21+21 = 226$
   $\bar{X} = \frac{279}{10} = 27.9$
   $\bar{Y} = \frac{226}{10} = 22.6$

   $\sum Y^2 = 18^2+21^2+22^2+25^2+27^2+27^2+25^2+19^2+21^2+21^2$
   $= 324 + 441 + 484 + 625 + 729 + 729 + 625 + 361 + 441 + 441 = 5200$

   $\sum XY = (25\times18) + (27\times21) + (32\times22) + (33\times25) + (30\times27) + (28\times27) + (25\times25) + (26\times19) + (27\times21) + (26\times21)$
   $= 450 + 567 + 704 + 825 + 810 + 756 + 625 + 494 + 567 + 546 = 6344$

   স্ত্রীর বয়সের ($Y$) উপর স্বামীর বয়সের ($X$) নির্ভরণ সমীকরণ:
   $\hat{X} - \bar{X} = b_{xy}(Y - \bar{Y})$

   যেখানে নির্ভরাঙ্ক, $b_{xy} = \frac{\sum XY - \frac{(\sum X)(\sum Y)}{n}}{\sum Y^2 - \frac{(\sum Y)^2}{n}}$
   $= \frac{6344 - \frac{279 \times 226}{10}}{5200 - \frac{226^2}{10}} = \frac{6344 - 6305.4}{5200 - 5107.6} = \frac{38.6}{92.4} \approx 0.418$

   ধ্রুবক, $a = \bar{X} - b_{xy}\bar{Y} = 27.9 - (0.4177 \times 22.6) = 27.9 - 9.44 = 18.46$

   অতএব, নির্ণীত সমীকরণটি হলো:
   $\hat{X} = 18.46 + 0.42Y$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বিক্ষেপ চিত্র অঙ্কন:
   একটি ছক কাগজে X-অক্ষ বরাবর স্বামীর বয়স ($X$) এবং Y-অক্ষ বরাবর স্ত্রীর বয়স ($Y$) ধরে প্রদত্ত জোড়া মানগুলো (25,18), (27,21), (32,22), (33,25), (30,27), (28,27), (25,25), (26,19), (27,21), (26,21) বিন্দু আকারে স্থাপন করি।

   প্রকৃতি বর্ণনা:
   বিন্দুগুলো লেখচিত্রে স্থাপন করলে দেখা যায় যে, বিন্দুগুলো বাম দিক থেকে ডান দিকে উর্ধ্বগামী একটি সরলরেখা বরাবর বিন্যস্ত হওয়ার প্রবণতা দেখায়। অর্থাৎ স্বামীর বয়স বৃদ্ধির সাথে সাথে স্ত্রীর বয়সও বৃদ্ধি পাওয়ার একটি স্পষ্ট ঝোঁক রয়েছে। বিন্দুগুলোর এই ঊর্ধ্বমুখী গতি নির্দেশ করে যে, স্বামী ও স্ত্রীর বয়সের মধ্যে প্রত্যক্ষ বা ধনাত্মক সহসংশ্লেষ (Positive Correlation) বিদ্যমান।