পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনা ক্ষেত্রের যেকোনো উপসেটকে একটি ঘটনা (Event) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা (m) এবং মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা (n) সর্বদা অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, অর্থাৎ $m \ge 0$ এবং $n > 0$। কোনো পরীক্ষায় অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা কখনো শূন্যের চেয়ে ছোট (ঋণাত্মক) হতে পারে না।

   সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী, $P(A) = \frac{m}{n}$। যেহেতু $m \ge 0$ এবং $n > 0$, তাই সম্ভাবনার মান সর্বদা $0 \le P(A) \le 1$ সীমার মধ্যে অবস্থান করে। ফলে সম্ভাবনার মান কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $P(A) = \frac{1}{3}$
   $P(B) = \frac{3}{4}$
   $P(A \cup B) = \frac{10}{12}$

   আমরা জানি, যেকোনো দুটি ঘটনা $A$ ও $B$ এর ক্ষেত্রে সম্ভাবনার যোগসূত্র অনুসারে:
   $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

   বা, $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$
   $= \frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{10}{12}$
   $= \frac{4 + 9 - 10}{12}$
   $= \frac{3}{12}$
   $= \frac{1}{4}$

   অতএব, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ বা $\frac{3}{12}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'গ' হতে প্রাপ্ত, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$
   উদ্দীপকে দেওয়া আছে, $P(A) = \frac{1}{3}$ এবং $P(B) = \frac{3}{4}$।

   শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্রানুসারে,
   $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
   $= \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$

   আবার,
   $P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
   $= \frac{1/4}{1/3} = \frac{1}{4} \times \frac{3}{1} = \frac{3}{4}$

   এখানে দেখা যাচ্ছে যে, $P(A/B) = \frac{1}{3}$ এবং $P(B/A) = \frac{3}{4}$।
   যেহেতু $\frac{1}{3} \ne \frac{3}{4}$, সুতরাং $P(A/B) \ne P(B/A)$।

   অতএব, $P(A/B)$ এবং $P(B/A)$ এর মান সমান নয়—শিক্ষকের এই মন্তব্যটি যথার্থ।