পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত সেটকে নমুনাক্ষেত্র (Sample Space) বলা হয়। একে সাধারণত $S$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকেই জানা থাকে, কিন্তু কোনো নির্দিষ্ট চেষ্টায় কোন ফলাফলটি নিশ্চিতভাবে ঘটবে তা পরীক্ষার পূর্বে নিশ্চিত করে বলা যায় না, তাকে দৈব পরীক্ষা বলে। একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল হেড (H) অথবা টেল (T) হবে তা নিশ্চিতভাবে জানা থাকে, কিন্তু মুদ্রাটি মাটিতে পড়ার পূর্বে এদের মধ্যে কোনটি আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না। তাই মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য মোট নমুনাবিন্দুর সংখ্যা, $n(S) = 6 \times 6 = 36$।

   ছক্কার উপরের পিঠের সংখ্যা দুটির যোগফল ৭ হওয়ার অনুকূল ফলাফলগুলোর সেট:
   $A = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$

   সুতরাং, যোগফল ৭ পাওয়ার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, $n(A) = 6$।

   অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা:
   $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি,
   $A =$ ১ম ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা
   $B =$ ২য় ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা

   দুটি ছক্কার ক্ষেত্রে মোট ফলাফল সংখ্যা, $n(S) = 36$।

   ১ম ছক্কায় জোড় সংখ্যা (2, 4, 6) পাওয়ার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, $n(A) = 3 \times 6 = 18$।
   $\therefore P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

   ২য় ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা (1, 3, 5) পাওয়ার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, $n(B) = 6 \times 3 = 18$।
   $\therefore P(B) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

   এখন, ১ম ছক্কায় জোড় এবং ২য় ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার যৌথ অনুকূল ঘটনা $(A \cap B)$-এর উপাদানসমূহ:
   $\{(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5)\}$
   এখানে, $n(A \cap B) = 3 \times 3 = 9$।
   $\therefore P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

   আবার,
   $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

   যেহেতু $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, সেহেতু ঘটনা দুটি স্বাধীন বা অনির্ভরশীল।

   সুতরাং, রিমার বক্তব্যটি যথার্থ ছিল।