পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান থেকে তার গাণিতিক প্রত্যাশার বিয়োগফলের বর্গের গাণিতিক প্রত্যাশাকে ওই দৈব চলকের ভেদাঙ্ক বলে। দৈব চলক $X$ হলে এর ভেদাঙ্ক, $V(X) = E[X - E(X)]^2$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৈব চলকের প্রতিটি মানকে তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনা দ্বারা গুণ করে গুণফলগুলোর সমষ্টি নিলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গাণিতিক প্রত্যাশা বলে। অর্থাৎ, বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $X$-এর জন্য $E(X) = \sum x_i P(x_i)$।
   অন্যদিকে, কোনো তথ্যসারির প্রতিটি মানকে তাদের আপেক্ষিক গণসংখ্যা বা সম্ভাবনার ওজন দিয়ে ভারযুক্ত গাণিতিক গড় নির্ণয় করলে তা গাণিতিক প্রত্যাশার সমান হয়। সুতরাং, একটি সামগ্রিক তথ্যের ক্ষেত্রে দৈব চলকের ভারযুক্ত গাণিতিক গড়ই মূলত তার গাণিতিক প্রত্যাশা নির্দেশ করে। তাই বলা যায়, দৈব চলকের গাণিতিক গড় ও গাণিতিক প্রত্যাশা মূলত একই ধারণার বহিঃপ্রকাশ।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, সম্ভাবনা অপেক্ষকের মোট সম্ভাবনার সমষ্টি ১।
   অতএব,
   $\sum P(x) = 1$
   $\Rightarrow 0.1 + 0.2 + k + 0.2 + 0.1 = 1$
   $\Rightarrow 0.6 + k = 1$
   $\Rightarrow k = 1 - 0.6 = 0.4$

   এখন, দৈব-চলক $x$-এর গাণিতিক প্রত্যাশা:
   $E(x) = \sum x \cdot P(x)$
   $= (-4)(0.1) + (-2)(0.2) + (0)(k) + (2)(0.2) + (4)(0.1)$
   $= -0.4 - 0.4 + 0 + 0.4 + 0.4$
   $= 0$

   অতএব, দৈব-চলক $x$-এর গাণিতিক প্রত্যাশা $E(x) = 0$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $y = 2x + 3$ এবং $z = 2x + 5$।

   আমরা জানি, ভেদাঙ্কের ধর্মাবলি অনুসারে কোনো চলক $X$ এবং ধ্রুবক $a$ ও $b$-এর জন্য:
   $V(aX + b) = a^2 V(X)$
   কারণ ভেদাঙ্ক মূলবিন্দু পরিবর্তনের ওপর নির্ভরশীল নয়, কেবল মাপনীর পরিবর্তনের ওপর নির্ভরশীল।

   অতএব,
   $V(y) = V(2x + 3) = 2^2 V(x) = 4 V(x)$
   এবং
   $V(z) = V(2x + 5) = 2^2 V(x) = 4 V(x)$

   এখন $V(x)$ এর মান নির্ণয় করি:
   $E(x^2) = \sum x^2 \cdot P(x)$
   $= (-4)^2 (0.1) + (-2)^2 (0.2) + (0)^2 (0.4) + (2)^2 (0.2) + (4)^2 (0.1)$
   $= 16(0.1) + 4(0.2) + 0 + 4(0.2) + 16(0.1)$
   $= 1.6 + 0.8 + 0 + 0.8 + 1.6$
   $= 4.8$

   'গ' হতে পাই, $E(x) = 0$।
   অতএব,
   $V(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 = 4.8 - (0)^2 = 4.8$

   সুতরাং,
   $V(y) = 4 \times 4.8 = 19.2$
   $V(z) = 4 \times 4.8 = 19.2$

   অতএব, $V(y) = V(z) = 19.2$।

   মন্তব্য: বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, $V(y)$ এবং $V(z)$ এর মান সমান। এর কারণ হলো উভয় রূপান্তরের ক্ষেত্রে চলক $x$-এর মাপনী একই ($2$) এবং ভেদাঙ্ক যোগকৃত ধ্রুবক (মূলবিন্দু)-এর ওপর নির্ভরশীল নয়।