পরিসংখ্যান ২য় পত্র • Combined Board • ঢাকা, রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম, বরিশাল, দিনাজপুর, ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫
পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন
উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষায় পরিসংখ্যান বিষয়ে অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর 60% বালিকা। অনুপস্থিতির কারণ অনুসন্ধানের জন্য দৈবভাবে 10 জনকে নির্বাচন করা হলো।
- ক)(1)
বার্নোলী চলক কাকে বলে?
- খ)(2)
একটি দৈব চলকের গড় 2 এবং ভেদাঙ্ক 3। এটি কি একটি দ্বিপদী চলক? ব্যাখ্যা কর।
- গ)(3)
অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর মধ্যে 3 জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
- ঘ)(4)
গাণিতিক পরিমাপের মাধ্যমে অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর বিন্যাসের আকৃতি ও প্রকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
যে দৈব চলক কেবলমাত্র দুটি মান গ্রহণ করতে পারে (সাধারণত সাফল্যের জন্য 1 এবং ব্যর্থতার জন্য 0), তাকে বার্নোলী চলক বলে।
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে গড় হলো np এবং ভেদাঙ্ক হলো npq, যেখানে q = 1 - p এবং 0 < q < 1। ফলে ভেদাঙ্ক = গড় × q < গড়, অর্থাৎ দ্বিপদী বিন্যাসে ভেদাঙ্ক সর্বদা গড় অপেক্ষা ছোট হয়।
উদ্দীপকে গড় = 2 এবং ভেদাঙ্ক = 3 দেওয়া আছে। যেহেতু এখানে ভেদাঙ্ক (3) > গড় (2), যা দ্বিপদী বিন্যাসের মৌলিক বৈশিষ্ট্যের পরিপন্থী (কারণ q = ভেদাঙ্ক/গড় = 3/2 = 1.5 > 1, যা সম্ভব নয়)। সুতরাং, এটি একটি দ্বিপদী চলক হতে পারে না।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ধরি, অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীদের মধ্যে বালিকা হওয়ার ঘটনা সাফল্য এবং বালিকার সংখ্যা X একটি দ্বিপদী চলক।
এখানে, মোট পরীক্ষার্থী সংখ্যা, n = 10
বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা, p = 60% = 0.60
বালিকা না হওয়ার সম্ভাবনা, q = 1 - p = 1 - 0.60 = 0.40দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
P(X = x) = ⁿCₓ pˣ qⁿ⁻ˣ ; x = 0, 1, 2, ..., nসুতরাং, অনুপস্থিত পরীক্ষার্থীর মধ্যে 3 জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা:
P(X = 3) = ¹⁰C₃ (0.60)³ (0.40)¹⁰⁻³
= 120 × (0.60)³ × (0.40)⁷
= 120 × 0.216 × 0.0016384
≈ 0.0425 (বা 4.25%)অতএব, 3 জন বালিকা হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় 0.0425।
- ঘ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দ্বিপদী বিন্যাসের আকৃতি ও প্রকৃতি নির্ধারণের জন্য বঙ্কিমতাঙ্ক (skewness) এবং সুঁচালতাঙ্ক (kurtosis) পরিমাপ করতে হয়।
উদ্দীপক মতে, n = 10, p = 0.60, q = 0.40।১. বঙ্কিমতাঙ্ক (β₁ বা γ₁):
γ₁ = (q - p) / √(npq)
এখানে, npq = 10 × 0.60 × 0.40 = 2.4
√(npq) = √2.4 ≈ 1.5492
সুতরাং, γ₁ = (0.40 - 0.60) / 1.5492 = -0.20 / 1.5492 ≈ -0.129
যেহেতু γ₁ < 0 (ঋণাত্মক), তাই বিন্যাসটি ঋণাত্মক বঙ্কিম বা বামে হেলানো।২. সুঁচালতাঙ্ক (β₂ বা γ₂):
β₂ = 3 + (1 - 6pq) / (npq)
এখানে, 1 - 6pq = 1 - 6(0.60)(0.40) = 1 - 1.44 = -0.44
অতএব, β₂ = 3 + (-0.44 / 2.4) = 3 - 0.1833 = 2.8167
যেহেতু β₂ < 3 (বা γ₂ = β₂ - 3 = -0.1833 < 0), তাই বিন্যাসটি মধ্যম সুঁচালোর চেয়ে কম সুঁচালো বা চ্যাপ্টা (Platykurtic)।মন্তব্য: বিন্যাসটি ঋণাত্মক বঙ্কিম এবং অনতিসুঁচালো বা চ্যাপ্টা আকৃতির।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও