পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যসারির মানগুলো তাদের মাঝামাঝি কোনো একটি কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত বা একত্রিত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা হলো একটি অবস্থানিক গড়, যা তথ্যসারির মানগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রম বা নিম্নক্রমে সাজানোর পর ঠিক মাঝের মানটিকে নির্দেশ করে। মধ্যমা নির্ণয়ে কেবলমাত্র মাঝামাঝি অবস্থিত পর্যবেক্ষণ বা পর্যবেক্ষণদ্বয়ের মানের প্রয়োজন হয়, প্রান্তীয় চরম মানগুলোর প্রকৃত মানের কোনো পরিবর্তন হলেও মধ্যমার মানে কোনো পরিবর্তন আসে না। তাই বলা হয় মধ্যমা তথ্যসারির সকল উপাদান বা মানের ওপর নির্ভরশীল নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সারণি:

   শ্রেণিব্যাপ্তি | মধ্যমান ($x_i$) | গণসংখ্যা ($f_i$) | $f_i x_i$
   4 - 8 | 6 | 5 | 30
   8 - 12 | 10 | 12 | 120
   12 - 16 | 14 | 18 | 252
   16 - 20 | 18 | 10 | 180
   20 - 24 | 22 | 3 | 66
   মোট: $N = \sum f_i = 48$, $\sum f_i x_i = 648$

   সুতরাং, গাণিতিক গড় ($\bar{x}$) = $\frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{648}{48} = 13.5$ ঘণ্টা।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা নির্ণয়:
   ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করি:
   শ্রেণিব্যাপ্তি | গণসংখ্যা ($f_i$) | ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($F_c$)
   4 - 8 | 5 | 5
   8 - 12 | 12 | 17
   12 - 16 | 18 | 35
   16 - 20 | 10 | 45
   20 - 24 | 3 | 48

   এখানে, মোট গণসংখ্যা $N = 48$।
   $\frac{N}{2} = \frac{48}{2} = 24$, যা 12-16 শ্রেণিতে অন্তর্ভুক্ত। অতএব, মধ্যমা শ্রেণি হলো 12 - 16।
   এখানে, $L = 12$, $F_c = 17$, $f_m = 18$, $c = 4$।
   মধ্যমা ($Me$) = $L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F_c}{f_m}\right) \times c = 12 + \left(\frac{24 - 17}{18}\right) \times 4 = 12 + \frac{28}{18} = 12 + 1.56 = 13.56$ ঘণ্টা।

   প্রচুরক নির্ণয়:
   সর্বাধিক গণসংখ্যা 18 রয়েছে 12 - 16 শ্রেণিতে। অতএব, প্রচুরক শ্রেণি 12 - 16।
   এখানে, $L = 12$, $\Delta_1 = 18 - 12 = 6$, $\Delta_2 = 18 - 10 = 8$, $c = 4$।
   প্রচুরক ($Mo$) = $L + \left(\frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2}\right) \times c = 12 + \left(\frac{6}{6 + 8}\right) \times 4 = 12 + \frac{24}{14} = 12 + 1.71 = 13.71$ ঘণ্টা।

   মন্তব্য:
   (গ) হতে প্রাপ্ত গাণিতিক গড় $\bar{x} = 13.5$, মধ্যমা $Me = 13.56$ এবং প্রচুরক $Mo = 13.71$।
   যেহেতু $\bar{x} < Me < Mo$, সেহেতু নিবেশনটি সামান্য ঋণাত্মক বা বাম-বঙ্কিম (Negatively skewed)।