পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির সবগুলো মানের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গাণিতিক গড় বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেসব ক্ষেত্রে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না তা হলো:
   ১. তথ্যসারিতে খোলা প্রান্তবিশিষ্ট (Open-ended) শ্রেণিব্যাপ্তি থাকলে (যেমন- '১০ এর কম' বা '৫০ এর বেশি') মধ্যমান নির্ধারণ করা যায় না বলে গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না।
   ২. গুণবাচক তথ্যের ক্ষেত্রে (যেমন- মেধা, সততা, রূপ ইত্যাদি) সরাসরি সংখ্যামান না থাকায় গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না।
   ৩. তথ্যসারির কোনো উপাত্ত অনুপস্থিত বা অজ্ঞাত থাকলে গাণিতিক গড় বের করা সম্ভব নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, জিম ও সেতুর বয়স যথাক্রমে $a$ ও $b$ বছর।
   শর্তানুসারে,
   গাণিতিক গড়, $AM = \frac{a+b}{2} = 10 \implies a + b = 20$ ..... (১)
   জ্যামিতিক গড়, $GM = \sqrt{ab} = 8 \implies ab = 64$ ..... (২)

   আমরা জানি,
   $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = (20)^2 - 4 \times 64 = 400 - 256 = 144$
   $\implies a - b = \pm \sqrt{144} = \pm 12$

   যদি $a - b = 12$ হয়, তবে (১) ও (৩) যোগ করে পাই:
   $2a = 32 \implies a = 16$
   সুতরাং, $b = 20 - 16 = 4$

   যদি $a - b = -12$ হয়, তবে পাই:
   $a = 4$ এবং $b = 16$

   অতএব, জিম ও সেতুর বয়স যথাক্রমে 16 বছর ও 4 বছর (অথবা 4 বছর ও 16 বছর)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   (গ) হতে প্রাপ্ত জিম ও সেতুর বয়স যথাক্রমে 16 এবং 4 বছর (দুটি অসমান ধনাত্মক সংখ্যা)।
   এখানে,
   গাণিতিক গড় ($AM$) = 10
   জ্যামিতিক গড় ($GM$) = 8

   বিপরীত গড় ($HM$) নির্ণয়:
   $HM = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b} = \frac{2 \times 64}{20} = \frac{128}{20} = 6.4$

   মানগুলো তুলনা করে পাই:
   $AM = 10$, $GM = 8$, $HM = 6.4$
   যেহেতু $10 > 8 > 6.4$, সুতরাং $AM > GM > HM$।

   অতএব, উদ্দীপকের তথ্য "গাঃ গড় > জ্যাঃ গড় > বিপঃ গড়" সম্পর্কটি সঠিকভাবে মেনে চলে।