পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যের যে বৈশিষ্ট্য স্থান, কাল ও পাত্রভেদে পরিবর্তিত হয় না বরং সবসময় অপরিবর্তিত বা স্থির থাকে, তাকে ধ্রুবক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শ্রেণিবিন্যাস বা পরিমাপের ক্ষেত্রে যখন স্কেলে শূন্য (0) কোনো বৈশিষ্ট্যের সম্পূর্ণ অনুপস্থিতি নির্দেশ করে না, তখন সেই শূন্যকে 'পরম শূন্য' (Absolute Zero) ধরা যায় না।
   যেমন—ব্যবধায়ক স্কেলে (Interval Scale) তাপমাত্রার পরিমাপে $0^\circ \text{C}$ তাপমাত্রা মানে তাপের সম্পূর্ণ অনুপস্থিতি নয়; এটি পানির হিমাঙ্ক নির্দেশক একটি নির্ধারিত মান মাত্র। এই জাতীয় সুবিধাজনকভাবে নির্ধারিত শূন্যকে পরম শূন্য বলা যায় না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত তথ্যসমূহ ($n=5$):
   $x_1 = 7, x_2 = 4, x_3 = 8, x_4 = 6, x_5 = 5$

   প্রথমে প্রয়োজনীয় সমষ্টিসমূহ নির্ণয় করি:
   $\sum_{i=1}^{5} x_i = 7 + 4 + 8 + 6 + 5 = 30$
   $\sum_{i=1}^{5} x_i^2 = 7^2 + 4^2 + 8^2 + 6^2 + 5^2 = 49 + 16 + 64 + 36 + 25 = 190$

   এখন প্রদত্ত রাশি:
   $\sum_{i=1}^{5} (3x_i^2 - x_i - 2) = 3\sum_{i=1}^{5} x_i^2 - \sum_{i=1}^{5} x_i - \sum_{i=1}^{5} 2$
   $= 3(190) - 30 - (5 \times 2)$
   $= 570 - 30 - 10$
   $= 530$

   অতএব, নির্ণেয় মান ৫৩০।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মি. রাসেলের মন্তব্যটি ছিল: "তথ্যগুলো থেকে তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি এবং বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ সমান নয়।"
   গাণিতিক ভাষায়, বক্তব্যটি হলো: $\sum_{i=1}^{5} (x_i - 3)^2 \neq \left[\sum_{i=1}^{5} (x_i - 3)\right]^2$

   প্রদত্ত মানসমূহ: $x_i = 7, 4, 8, 6, 5$

   ১. তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের বর্গের সমষ্টি:
   $\sum_{i=1}^{5} (x_i - 3)^2 = (7-3)^2 + (4-3)^2 + (8-3)^2 + (6-3)^2 + (5-3)^2$
   $= 4^2 + 1^2 + 5^2 + 3^2 + 2^2$
   $= 16 + 1 + 25 + 9 + 4$
   $= 55$

   ২. তিন বিয়োগ করে বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ:
   $\sum_{i=1}^{5} (x_i - 3) = (7-3) + (4-3) + (8-3) + (6-3) + (5-3)$
   $= 4 + 1 + 5 + 3 + 2 = 15$
   অতএব, বিয়োগফলের সমষ্টির বর্গ $= \left[\sum_{i=1}^{5} (x_i - 3)\right]^2 = (15)^2 = 225$

   যেহেতু, $55 \neq 225$, অর্থাৎ $\sum_{i=1}^{5} (x_i - 3)^2 \neq \left[\sum_{i=1}^{5} (x_i - 3)\right]^2$

   সুতরাং, মি. রাসেলের মন্তব্যটি সঠিক ছিল।