পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   নির্দিষ্ট কোনো বৈশিষ্ট্যের অধিকারী সকল উপাদান বা এককের সামগ্রিক সেটকে সমগ্রক (Population) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সমগ্রক সম্পর্কে দ্রুত এবং কম খরচে ধারণা পাওয়ার জন্য নমুনা জরিপ একটি অত্যন্ত কার্যকর পদ্ধতি। সমগ্রক শুমারি বা পূর্ণাঙ্গ গণনায় সমগ্রকের প্রতিটি উপাদান থেকে তথ্য সংগ্রহ করতে হয়, যা অত্যন্ত সময়সাপেক্ষ, ব্যয়বহুল এবং অনেক ক্ষেত্রে অসম্ভব। পক্ষান্তরে, নমুনা জরিপে সমগ্রক থেকে বৈজ্ঞানিক উপায়ে কিছু প্রতিনিধিত্বশীল একক নির্বাচন করে স্বল্প সময়ে, অল্প ব্যয়ে ও কম পরিশ্রমে বিশ্লেষণ সম্পন্ন করা যায়। তাই বাস্তব ক্ষেত্রে জরুরি ও দ্রুত সিদ্ধান্তের প্রয়োজনে নমুনা জরিপই একমাত্র সর্বোত্তম পদ্ধতি হিসেবে বিবেচিত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত সমগ্রকটি হলো: {২, ৩, ৪, ৫, ৭}
   এখানে, সমগ্রকের আকার, $N = ৫$
   নমুনার আকার, $n = ৩$

   পুনঃস্থাপন না করে (Without Replacement) $N$ আকারের সমগ্রক হতে $n$ আকারের সম্ভাব্য নমুনার সংখ্যা হবে:
   $^NC_n = ^৫C_৩ = \frac{৫!}{৩!(৫-৩)!} = ১০$

   সুতরাং, পুনঃস্থাপন না করে ৩ আকারের সম্ভাব্য ১০টি নমুনা নিচে দেওয়া হলো:
   ১. (২, ৩, ৪)
   ২. (২, ৩, ৫)
   ৩. (২, ৩, ৭)
   ৪. (২, ৪, ৫)
   ৫. (২, ৪, ৭)
   ৬. (২, ৫, ৭)
   ৭. (৩, ৪, ৫)
   ৮. (৩, ৪, ৭)
   ৯. (৩, ৫, ৭)
   ১০. (৪, ৫, ৭)

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শ্রেণি শিক্ষকের বক্তব্যটি হলো: 'নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিঝুঁকি নিরূপক হবে'। অর্থাৎ আমাদের যাচাই করতে হবে $E(\bar{x}) = \mu$ সত্য কি না।

   উদ্দীপক অনুসারে, সমগ্রক: {২, ৩, ৪, ৫, ৭}; সমগ্রকের আকার, $N = ৫$
   সমগ্রক গড়, $\mu = \frac{\sum X}{N} = \frac{২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৭}{৫} = \frac{২১}{৫} = ৪.২$

   পুনঃস্থাপন না করে ২ আকারবিশিষ্ট দৈব নমুনার মোট সংখ্যা = $^৫C_২ = ১০$ টি।
   সম্ভাব্য নমুনাসমূহ এবং তাদের গড় ($\bar{x}$) নিচে নির্ণয় করা হলো:
   ১. (২, ৩) $\rightarrow \bar{x}_১ = \frac{২+৩}{২} = ২.৫$
   ২. (২, ৪) $\rightarrow \bar{x}_২ = \frac{২+৪}{২} = ৩.০$
   ৩. (২, ৫) $\rightarrow \bar{x}_৩ = \frac{২+৫}{২} = ৩.৫$
   ৪. (২, ৭) $\rightarrow \bar{x}_৪ = \frac{২+৭}{২} = ৪.৫$
   ৫. (৩, ৪) $\rightarrow \bar{x}_৫ = \frac{৩+৪}{২} = ৩.৫$
   ৬. (৩, ৫) $\rightarrow \bar{x}_৬ = \frac{৩+৫}{২} = ৪.০$
   ৭. (৩, ৭) $\rightarrow \bar{x}_৭ = \frac{৩+৭}{২} = ৫.০$
   ৮. (৪, ৫) $\rightarrow \bar{x}_৮ = \frac{৪+৫}{২} = ৪.৫$
   ৯. (৪, ৭) $\rightarrow \bar{x}_৯ = \frac{৪+৭}{২} = ৫.৫$
   ১০. (৫, ৭) $\rightarrow \bar{x}_{১০} = \frac{৫+৭}{২} = ৬.০$

   যেহেতু প্রতিটি নমুনা নির্বাচনের সম্ভাবনা সমান এবং তা হলো $\frac{১}{১০}$:
   নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান, $E(\bar{x}) = \frac{\sum \bar{x}}{১০}$
   $\sum \bar{x} = ২.৫ + ৩.০ + ৩.৫ + ৪.৫ + ৩.৫ + ৪.০ + ৫.০ + ৪.৫ + ৫.৫ + ৬.০ = ৪২.০$
   $\therefore E(\bar{x}) = \frac{৪২.০}{১০} = ৪.২$

   এখানে দেখা যাচ্ছে যে, $E(\bar{x}) = \mu = ৪.২$
   যেহেতু নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান সমগ্রক গড়ের সমান, তাই নমুনা গড় ($\bar{x}$) সমগ্রক গড় ($\mu$)-এর একটি নিঝুঁকি (unbiased) নিরূপক।
   অতএব, শ্রেণি শিক্ষকের বক্তব্যটি সম্পূর্ণ সঠিক ও যথার্থ।