পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলক থেকে তার গাণিতিক গড়ের বিয়োগফলকে পরিমিত ব্যবধান দ্বারা ভাগ করলে যে চলক পাওয়া যায়, তাকে প্রমিত চলক (Standardized Variable) বলে। একে $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ভেদাঙ্কের সংজ্ঞানুযায়ী, কোনো তথ্যসারির প্রতিটি মান থেকে তাদের গাণিতিক গড়ের বিচ্যুতিসমূহের বর্গের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভেদাঙ্ক পাওয়া যায়। গাণিতিকভাবে, $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$।
   যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ (বিচ্যুতি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন) সর্বদাই অঋণাত্মক এবং মানগুলো অসম হওয়ায় প্রতিটি বিচ্যুতি শূন্য হতে পারে না, তাই বিচ্যুতির বর্গের সমষ্টি $\sum (x_i - \bar{x})^2 > 0$ হয়। ফলে ঋণাত্মক অসম মানের ক্ষেত্রেও তাদের ভেদাঙ্ক সর্বদাই ধনাত্মক হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   শহর A-এর তাপমাত্রাগুলো হলো: $২, ১, -১, ০, ৩$ এবং পর্যবেক্ষণ সংখ্যা $n = ৫$।

   গাণিতিক গড়, $\bar{x}_A = \frac{২ + ১ + (-১) + ০ + ৩}{৫} = \frac{৫}{৫} = ১^\circ C$

   গড় হতে পরম বিচ্যুতির সমষ্টি নির্ণয়:
   $|x_i - \bar{x}_A|$ এর মানসমূহ হলো:
   $|২ - ১| = ১$
   $|১ - ১| = ০$
   $|-১ - ১| = |-২| = ২$
   $|০ - ১| = |-১| = ১$
   $|৩ - ১| = ২$

   $\sum |x_i - \bar{x}_A| = ১ + ০ + ২ + ১ + ২ = ৬$

   অতএব, শহর A-এর তাপমাত্রার গড় ব্যবধান, $MD(\bar{x}) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}_A|}{n} = \frac{৬}{৫} = ১.২^\circ C$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তাপমাত্রার সামঞ্জস্যতা পরিমাপের জন্য শহরদ্বয়ের বিভেদাঙ্ক ($CV$) নির্ণয় করতে হবে। যে শহরের বিভেদাঙ্ক কম, সে শহরের তাপমাত্রা অধিক সামঞ্জস্যপূর্ণ।

   শহর A-এর ক্ষেত্রে:
   গড়, $\bar{x}_A = ১$
   তাপমাত্রার মানসমূহের বর্গের সমষ্টি, $\sum x_i^2 = ২^২ + ১^২ + (-১)^২ + ০^২ + ৩^২ = ৪ + ১ + ১ + ০ + ৯ = ১৫$
   শহর A-এর ভেদাঙ্ক, $\sigma_A^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x}_A)^2 = \frac{১৫}{৫} - (১)^২ = ৩ - ১ = ২$
   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_A = \sqrt{২} \approx ১.৪১৪$
   বিভেদাঙ্ক, $CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A} \times ১০০\% = \frac{১.৪১৪}{১} \times ১০০\% = ১৪১.৪\%$

   শহর B-এর ক্ষেত্রে:
   মানগুলো: $৩, ০, -২, ২, ৩$ এবং $n = ৫$
   গাণিতিক গড়, $\bar{x}_B = \frac{৩ + ০ + (-২) + ২ + ৩}{৫} = \frac{৬}{৫} = ১.২$
   মানসমূহের বর্গের সমষ্টি, $\sum x_i^2 = ৩^২ + ০^২ + (-২)^২ + ২^২ + ৩^২ = ৯ + ০ + ৪ + ৪ + ৯ = ২৬$
   শহর B-এর পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_B = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x}_B)^2} = \sqrt{\frac{২৬}{৫} - (১.২)^২} = \sqrt{৫.২ - ১.৪৪} = \sqrt{৩.৭৬} \approx ১.৯৩৯$
   বিভেদাঙ্ক, $CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B} \times ১০০\% = \frac{১.৯৩৯}{১.২} \times ১০০\% \approx ১৬১.৫৮\%$

   মন্তব্য:
   যেহেতু $CV_A < CV_B$ (অর্থাৎ শহর A-এর বিভেদাঙ্ক শহর B-এর চেয়ে কম), সেহেতু শহর A-এর তাপমাত্রা অধিক সামঞ্জস্যপূর্ণ।