পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব চলকের প্রতিটি সম্ভাব্য মানের সাথে তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনার সম্পর্ককে একটি তালিকা বা গাণিতিক সূত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করাকে সম্ভাবনা বিন্যাস (Probability Distribution) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, কোনো ধ্রুবকের ভেদাঙ্ক শূন্য হয়, অর্থাৎ $V(c) = 0$।
   এখানে ৫ একটি ধ্রুবক সংখ্যা, যা কোনো পরিবর্তনশীল রাশি নয়।
   ভেদাঙ্কের সূত্রানুসারে,
   $V(X) = E[X - E(X)]^2$
   ধ্রুবক ৫ এর জন্য প্রত্যাশিত মান, $E(5) = 5$
   অতএব, $V(5) = E[5 - 5]^2 = E(0) = 0$।
   যেহেতু ধ্রুবকের কোনো বিস্তৃতি বা বিচ্যুতি থাকে না, তাই $V(5) = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ হতে সম্ভাবনা অপেক্ষকটি হলো:
   $P(x) = \frac{|2 - x|}{k}; \quad x = 3, 4, 5, 6, 7$

   আমরা জানি, সমগ্র সম্ভাবনার সমষ্টি ১, অর্থাৎ $\sum_{x=3}^{7} P(x) = 1$
   $\Rightarrow \frac{|2-3|}{k} + \frac{|2-4|}{k} + \frac{|2-5|}{k} + \frac{|2-6|}{k} + \frac{|2-7|}{k} = 1$
   $\Rightarrow \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{k} = 1$
   $\Rightarrow \frac{15}{k} = 1$
   $\therefore k = 15$

   সুতরাং, $P(x) = \frac{|2-x|}{15}$

   এখন, গাণিতিক প্রত্যাশা:
   $E(x) = \sum x \cdot P(x)$
   $= 3 \cdot \frac{1}{15} + 4 \cdot \frac{2}{15} + 5 \cdot \frac{3}{15} + 6 \cdot \frac{4}{15} + 7 \cdot \frac{5}{15}$
   $= \frac{3 + 8 + 15 + 24 + 35}{15} = \frac{85}{15} = \frac{17}{3} \approx 5.67$

   অতএব, $k = 15$ এবং $E(x) = \frac{17}{3}$ বা $5.67$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র:
   $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
   মোট নমুনাবিন্দুর সংখ্যা, $n(S) = 8$

   ধরি, হেড সংখ্যা $X$। তাহলে $X$-এর মান হতে পারে $0, 1, 2, 3$।

   শর্ত ১: 'কমপক্ষে ১টি হেড' পাওয়ার ঘটনা $A$ ($X \ge 1$):
   অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: $HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH$ (৭টি)
   $\therefore P(A) = P(X \ge 1) = \frac{7}{8}$
   এক্ষেত্রে লাভ হয় 40 পয়েন্ট।

   শর্ত ২: 'বড়জোর ১টি হেড' পড়ার ঘটনা $B$ ($X \le 1$):
   অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো: $TTT, HTT, THT, TTH$ (৪টি)
   $\therefore P(B) = P(X \le 1) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
   এক্ষেত্রে হারায় 20 পয়েন্ট, অর্থাৎ লাভ -20 পয়েন্ট।

   ধরি, রাকিবের মোট প্রাপ্ত পয়েন্ট $Y$।
   তাহলে রাকিবের প্রত্যাশিত পয়েন্ট:
   $E(Y) = 40 \times P(A) + (-20) \times P(B)$
   $= 40 \times \frac{7}{8} - 20 \times \frac{4}{8}$
   $= 35 - 10 = 25$ পয়েন্ট।

   কিন্তু রাকিবের প্রত্যাশা ছিল 45 পয়েন্ট। যেহেতু তার গাণিতিক প্রত্যাশিত পয়েন্ট 25, তাই রাকিবের 45 পয়েন্ট প্রত্যাশা করার বিষয়টি সঠিক বা যথার্থ ছিল না।