পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুই বা ততোধিক পরস্পর সম্পর্কিত চলকের মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্কের গাণিতিক গড় বা কার্যকরী সম্পর্ক নির্ণয় করার পরিসংখ্যানিক পদ্ধতিকে নির্ভরণ (Regression) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $r = -1$ বলতে দুটি চলকের মধ্যে পূর্ণ ঋণাত্মক সংশ্লেষ (Perfect Negative Correlation) বিদ্যমান বোঝায়। এর অর্থ হলো একটি চলক যে হারে বৃদ্ধি পায়, অপর চলকটি ঠিক একই সমানুপাতে হ্রাস পায় এবং বিক্ষেপচিত্রে বিন্দুগুলো একটি সরলরেখা বরাবর বাম থেকে ডানে নিম্নগামী হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের তথ্যগুলোকে বিক্ষেপচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন:

   ধরি, ধূমপায়ীর সংখ্যা = $X$ এবং হৃদরোগীর সংখ্যা = $Y$
   প্রদত্ত বিন্দুগুলো হলো: $(5, 3), (4, 2), (8, 4), (12, 4), (7, 2)$।

   লেখচিত্রের বিবরণ:
   ১. ছক কাগজের $X$-অক্ষ বরাবর ধূমপায়ীর সংখ্যা এবং $Y$-অক্ষ বরাবর হৃদরোগীর সংখ্যা স্থাপন করা হয়।
   ২. নির্দিষ্ট স্কেল নির্ধারণ করে বিন্দুগুলো যথাক্রমে $(5, 3)$, $(4, 2)$, $(8, 4)$, $(12, 4)$ এবং $(7, 2)$ ছক কাগজে চিহ্নিত (plot) করে একটি বিক্ষেপচিত্র (Scatter Diagram) অঙ্কন করা হয়।
   ৩. বিন্দুগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় তারা একটি নির্দিষ্ট ঊর্ধ্বমুখী বা ধনাত্মক প্রবণতা প্রদর্শন করছে।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, ধূমপায়ীর সংখ্যা $X$ এবং হৃদরোগীর সংখ্যা $Y$। এখানে $n = 5$।

   প্রয়োজনীয় হিসাব সারণি:
   $X$: 5, 4, 8, 12, 7 | $\sum X = 36$
   $Y$: 3, 2, 4, 4, 2 | $\sum Y = 15$
   $X^2$: 25, 16, 64, 144, 49 | $\sum X^2 = 298$
   $Y^2$: 9, 4, 16, 16, 4 | $\sum Y^2 = 49$
   $XY$: 15, 8, 32, 48, 14 | $\sum XY = 117$

   কার্ল পিয়ারসনের সংশ্লেষাঙ্ক সূত্র:
   $r = \frac{n\sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2][n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}}$
   $= \frac{5(117) - (36)(15)}{\sqrt{[5(298) - (36)^2][5(49) - (15)^2]}}$
   $= \frac{585 - 540}{\sqrt{[1490 - 1296][245 - 225]}}$
   $= \frac{45}{\sqrt{194 \times 20}} = \frac{45}{\sqrt{3880}} = \frac{45}{62.29} \approx 0.72$

   বিশ্লেষণ ও মন্তব্য:
   যেহেতু সংশ্লেষাঙ্ক $r = 0.72$, যা ধনাত্মক এবং ১ এর কাছাকাছি, তাই বলা যায় ধূমপানের সংখ্যার সঙ্গে হৃদরোগীর সংখ্যার মধ্যে উচ্চমাত্রার ধনাত্মক সংশ্লেষ বিদ্যমান। অর্থাৎ, ধূমপায়ীর সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে হৃদরোগীর সংখ্যাও বৃদ্ধি পাওয়ার প্রবণতা রয়েছে।