পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে দৈব পরীক্ষায় কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল (সফলতা ও বিফলতা) থাকে, প্রতিটি চেষ্টায় ফলাফলের সম্ভাবনা স্থির থাকে এবং প্রতিটি চেষ্টা পরস্পর স্বাধীন হয়, তাকে দ্বিপদী পরীক্ষা বা বার্নৌলি চেষ্টা বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের গড় কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।
   আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় = $np$, যেখানে $n$ হলো মোট চেষ্টার সংখ্যা এবং $p$ হলো প্রতি চেষ্টায় কোনো ঘটনা ঘটার (সফলতার) সম্ভাবনা।
   যেহেতু চেষ্টার সংখ্যা $n$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ($n > 0$) এবং সম্ভাবনার মান সর্বদা অঋণাত্মক অর্থাৎ $0 \le p \le 1$, সেহেতু এদের গুণফল $np \ge 0$ হতে বাধ্য। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে কোনো বাস্তব পরীক্ষায় $n > 0$ ও $p > 0$ হলে গড় সর্বদা ধনাত্মক হয়। সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   প্রতিটি প্যাকেটে কলমের সংখ্যা, $n = 10$
   কলম খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা, $p = 30\% = 0.3$
   কলম ভালো হওয়ার সম্ভাবনা, $q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7$
   মোট প্যাকেটের সংখ্যা, $N = 1000$

   ধরি, প্যাকেটে খারাপ কলমের সংখ্যা $X$, যা একটি দ্বিপদী চলক।
   দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক:
   $P(X = x) = ^nC_x p^x q^{n-x}; \quad x = 0, 1, 2, \dots, n$

   দুইটি কলম নষ্ট (খারাপ) হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(X = 2) = ^{10}C_2 (0.3)^2 (0.7)^{10-2}$
   $= 45 \times 0.09 \times (0.7)^8$
   $= 4.05 \times 0.05764801$
   $\approx 0.2335$

   অতএব, দুইটি কলম নষ্ট হওয়ার প্রত্যাশিত প্যাকেটের সংখ্যা:
   $E = N \times P(X = 2)$
   $= 1000 \times 0.2335 = 233.5 \approx 234$ টি।

   উত্তর: দুইটি কলম নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা প্রায় 0.2335 এবং প্রত্যাশিত প্যাকেটের সংখ্যা প্রায় 234টি।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের তথ্য অনুযায়ী:
   $n = 10$
   $p = 0.3$
   $q = 0.7$

   দ্বিপদী বিন্যাসটির গড়:
   গড়, $\mu = np = 10 \times 0.3 = 3$

   দ্বিপদী বিন্যাসটির ভেদাঙ্ক:
   ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = npq = 10 \times 0.3 \times 0.7 = 2.1$

   মন্তব্য:
   ১. বিন্যাসটির গড় ($3$) ভেদাঙ্ক ($2.1$) অপেক্ষা বৃহত্তর ($\text{গড়} > \text{ভেদাঙ্ক}$), যা দ্বিপদী বিন্যাসের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্যকে সমর্থন করে।
   ২. যেহেতু $p = 0.3 < 0.5$, তাই বিন্যাসটি ধনাত্মক বঙ্কিম (Positively Skewed)।
   ৩. প্রতিটি প্যাকেটে গড়ে ৩টি কলম খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা নির্দেশিত হয় এবং ভেদাঙ্ক ২.১ হওয়ায় কলমের মানের ওঠানামা তুলনামূলকভাবে কম।