Find the area of the region enclosed by $y = \sqrt{2 - x}$ and y = -x as shown in the figure given below ?

![](https://files.utsaho.bd/v1/files/7ad5a8c3-aa9b-47ec-ad4e-cacb2d4c33fe)

Question

Find the area of the region enclosed by $y = \sqrt{2 - x}$ and y = -x as shown in the figure given below ?

![](https://files.utsaho.bd/v1/files/7ad5a8c3-aa9b-47ec-ad4e-cacb2d4c33fe)

Accepted Answer

খ. $\frac{10}{3}$

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত চিত্রে ছায়াঘেরা অঞ্চলটি $y$-অক্ষের সাপেক্ষে বিবেচনা করলে হিসাবটি অত্যন্ত সহজ হয়:

১. বক্ররেখাটির সমীকরণ: $y = \sqrt{2-x} \implies y^2 = 2 - x \implies x = 2 - y^2$ (ডানদিকের সীমা)
২. সরলরেখাটির সমীকরণ: $y = -x \implies x = -y$ (বামদিকের সীমা)

ছেদবিন্দু নির্ণয়:
$\sqrt{2-x} = -x$
$\implies 2 - x = x^2$ (যেহেতু $y \ge 0$, তাই $x \le 0$)
$\implies x^2 + x - 2 = 0$
$\implies (x + 2)(x - 1) = 0$
যেহেতু $x \le 0$, তাই $x = -2$ এবং সংশ্লিষ্ট $y = -(-2) = 2$।

সুতরাং, $y$-এর মান $0$ থেকে $2$ পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়।

অতএব, আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল:
$$	ext{Area} = \int_{0}^{2} (x_{	ext{right}} - x_{	ext{left}}) \, dy$$
$$	ext{Area} = \int_{0}^{2} [(2 - y^2) - (-y)] \, dy = \int_{0}^{2} (2 + y - y^2) \, dy$$
$$= \left[ 2y + \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} ight]_{0}^{2}$$
$$= 2(2) + \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3}$$
$$= 4 + 2 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$$

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো Option 2 ($\frac{10}{3}$)।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন