উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(i) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ:
প্রদত্ত রেখাদ্বয় হলো:
$x - 7y + 1 = 0$ ... (1)
$7x + y - 5 = 0$ ... (2)

(1) নং রেখার ঢাল, $m_1 = -\frac{1}{-7} = \frac{1}{7}$
(2) নং রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{7}{1} = -7$

যেহেতু $m_1 \cdot m_2 = \frac{1}{7} \times (-7) = -1$, তাই রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
অতএব, রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$ বা $\frac{\pi}{2}$।

(ii) সঞ্চারপথের সমীকরণ:
$P(h, k)$ বিন্দু হতে (1) ও (2) নং রেখার লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে:
$d_1 = \frac{|h - 7k + 1|}{\sqrt{1^2 + (-7)^2}} = \frac{|h - 7k + 1|}{\sqrt{50}}$
$d_2 = \frac{|7h + k - 5|}{\sqrt{7^2 + 1^2}} = \frac{|7h + k - 5|}{\sqrt{50}}$

প্রশ্নমতে,
$d_1^2 + d_2^2 = 10$
$\Rightarrow \frac{(h - 7k + 1)^2}{50} + \frac{(7h + k - 5)^2}{50} = 10$
$\Rightarrow (h^2 + 49k^2 + 1 - 14hk + 2h - 14k) + (49h^2 + k^2 + 25 + 14hk - 70h - 10k) = 500$
$\Rightarrow 50h^2 + 50k^2 - 68h - 24k + 26 = 500$
$\Rightarrow 50h^2 + 50k^2 - 68h - 24k - 474 = 0$
$\Rightarrow 25h^2 + 25k^2 - 34h - 12k - 237 = 0$

সুতরাং, সঞ্চারপথের সমীকরণ হলো:
$25x^2 + 25y^2 - 34x - 12y - 237 = 0$