উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   ধরি, z = 3 + 4i।
   মডুলাস r = √(3² + 4²) = 5
   আর্গুমেন্ট θ = tan⁻¹(4/3)
   সুতরাং, পোলার আকার: 5(cos θ + i sin θ), যেখানে θ = tan⁻¹(4/3) [বা 5{cos(tan⁻¹(4/3)) + i sin(tan⁻¹(4/3))}]

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   ax³ + 3bx² + 3cx + d = 0 সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ হওয়ায়:
   α + β + γ = -3b/a এবং αβ + βγ + γα = 3c/a

   Σ(α - β)² = (α - β)² + (β - γ)² + (γ - α)²
   = 2(α² + β² + γ²) - 2(αβ + βγ + γα)
   = 2{(α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)} - 2(αβ + βγ + γα)
   = 2(α + β + γ)² - 6(αβ + βγ + γα)
   = 2(-3b/a)² - 6(3c/a)
   = (18b²/a²) - (18c/a)
   = 18(b² - ac)/a² (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   $q = 729$ হলে, $\sqrt[6]{-q} = \sqrt[6]{-729}$
   ধরি, $x = (-729)^{1/6} \Rightarrow x^6 = 3^6(-1)$
   বা, $x^6 = 3^6\left[\cos(2k\pi + \pi) + i\sin(2k\pi + \pi)\right]$, $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$
   $\Rightarrow x = 3\left[\cos\frac{(2k + 1)\pi}{6} + i\sin\frac{(2k + 1)\pi}{6}\right]$
   $k$-এর মান 0 থেকে 5 পর্যন্ত বসিয়ে মূলগুলো পাওয়া যায়:
   $\pm 3i$ এবং $\pm \frac{3}{2}(\sqrt{3} \pm i)$