উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রশ্নের স্পষ্ট LaTeX পাঠ অনুযায়ী $y=\cos^{-1}\sqrt{x}$ ধরা হচ্ছে। শৃঙ্খল নিয়মে

   $\boxed{\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}},\quad 0<x<1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $x>0$ এবং $x+h>0$ ধরে মূল নিয়মে

   $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h/x)}{h}$।

   $u=h/x$ রাখলে $h=xu$ এবং $u\to0$। সুতরাং

   $f'(x)=\frac1x\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=\frac1x\ln\left[\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}\right]=\frac1x\ln e=\boxed{\frac1x}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উৎসের লিখনত্রুটি: দ্বিতীয় পদে $x\,d^2z/dx$ লেখা হয়েছে; এটি শুদ্ধ দ্বিতীয়-অন্তরজ লিখন নয়। সেটি $xz''$ বোঝালে দাবিটিও সাধারণভাবে মিথ্যা। যেমন $m=1,x=1$-এ $z=1+\sqrt2$ এবং $z''=1/(2\sqrt2)$; তখন

   $(1+x^2)z''+xz''-m^2z=\frac3{2\sqrt2}-(1+\sqrt2)=-1-\frac{\sqrt2}{4}\ne0$। তাই ওই পাঠ প্রমাণ করা যায় না।

   ঘোষিত সংশোধনের অনুমান: দ্বিতীয় পদটি $x\,dz/dx=xz'$ হবে। এই মানক পরিচিতিটি একই প্রদত্ত $g(x)$ ও $z$ দিয়ে প্রমাণ করছি। $r=\sqrt{1+x^2}$ এবং $g=x+r>0$। তাই

   $g'=1+\frac xr=\frac gr$, ফলে $z=g^m$ থেকে $z'=mg^{m-1}g'=\frac{mz}{r}$। আবার অন্তরজ নিলে

   $z''=\frac{mz'}r-\frac{mxz}{r^3}$। উভয় দিকে $r^2$ গুণ করে এবং $rz'=mz$ ব্যবহার করলে

   $r^2z''=mrz'-\frac{mxz}r=m^2z-xz'$।

   অতএব $\boxed{(1+x^2)\frac{d^2z}{dx^2}+x\frac{dz}{dx}-m^2z=0}$। এটি ঘোষিত সংশোধিত পরিচিতির প্রমাণ; উৎসের বিকৃত দ্বিতীয়-অন্তরজ পদকে সত্য বলে চালানো নয়।