পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সময়ের পরিবর্তনের সাথে সাথে কোনো চলকের যে সংখ্যাত্মক মান পাওয়া যায়, তাকে কালীন সারি (Time Series) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পহেলা বৈশাখে কাপড়ের বিক্রি বৃদ্ধি পাওয়া কালীন সারির ঋতুগত বা মৌসুমী ভেদাভেদ (Seasonal Variation)-এর প্রভাব।

   বছরের একটি নির্দিষ্ট সময়ে বা নির্দিষ্ট ঋতুতে নিয়মিত ও পুনরাবৃত্তিমূলক যে পরিবর্তন পরিলক্ষিত হয়, তাকে ঋতুগত বা মৌসুমী ভেদাভেদ বলে। বাংলা নববর্ষ বা পহেলা বৈশাখ প্রতি বছর বৈশাখ মাসের শুরুতে উৎসবমুখর পরিবেশে পালিত হয়। এই উৎসবকে কেন্দ্র করে মানুষ নতুন পোশাক কেনাকাটা করে, ফলে নির্দিষ্ট এই সময়টিতে কাপড়ের বিক্রি উল্লেখযোগ্য হারে বেড়ে যায়। এটি একটি নিয়মিত বার্ষিক ঘটনা হওয়ায় তা ঋতুগত ভেদাভেদের অন্তর্ভুক্ত।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ৩ বছর ভিত্তিক চলিষ্ণু গড়ের সাহায্যে সাধারণ ধারা নির্ণয়ের সারণি:

   সাল	মুনাফা ($y_t$)	৩ বছর ভিত্তিক চলিষ্ণু সমষ্টি	৩ বছর ভিত্তিক চলিষ্ণু গড় (ধারা মান)
   ২০০৭	১০	—	—
   ২০০৮	২০	১০ + ২০ + ২৬ = ৫৬	৫৬ ÷ ৩ = ১৮.৬৭
   ২০০৯	২৬	২০ + ২৬ + ৩৩ = ৭৯	৭৯ ÷ ৩ = ২৬.৩৩
   ২০১০	৩৩	২৬ + ৩৩ + ৩৬ = ৯৫	৯৫ ÷ ৩ = ৩১.৬৭
   ২০১১	৩৬	৩৩ + ৩৬ + ৪৩ = ১১২	১১২ ÷ ৩ = ৩৭.৩৩
   ২০১২	৪৩	৩৬ + ৪৩ + ৪৬ = ১২৫	১২৫ ÷ ৩ = ৪১.৬৭
   ২০১৩	৪৬	৪৩ + ৪৬ + ৫০ = ১৩৯	১৩৯ ÷ ৩ = ৪৬.৩৩
   ২০১৪	৫০	৪৬ + ৫০ + ৫২ = ১৪৮	১৪৮ ÷ ৩ = ৪৯.৩৩
   ২০১৫	৫২	—	—

   সুতরাং, নির্ণীত ৩ বছর ভিত্তিক চলিষ্ণু গড়গুলো যথাক্রমে ১৮.৬৭, ২৬.৩৩, ৩১.৬৭, ৩৭.৩৩, ৪১.৬৭, ৪৬.৩৩ এবং ৪৯.৩৩ (হাজার ডলার)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ২০১৭ সালে লক্ষ্যমাত্রা অর্জিত হবে কি-না তা যাচাই করার জন্য লঘিষ্ঠ বর্গ পদ্ধতির সাহায্যে রৈখিক ধারা সমীকরণ নির্ণয় করে ২০১৭ সালের সম্ভাব্য মুনাফা প্রাক্কলন করি।

   এখানে মোট বছর সংখ্যা, $n = 9$ (বিজোড়)।
   মধ্যবর্তী বছর ২০১১-কে মূলবিন্দু ধরে কাল চলক $x = \text{সাল} - 2011$ ধরি।

   হিসাবের সারণি:

   সাল	মুনাফা ($y$)	$x$	$x^2$	$xy$
   ২০০৭	১০	-৪	১৬	-৪০
   ২০০৮	২০	-৩	৯	-৬০
   ২০০৯	২৬	-২	৪	-৫২
   ২০১০	৩৩	-১	১	-৩৩
   ২০১১	৩৬	০	০	০
   ২০১২	৪৩	১	১	৪৩
   ২০১৩	৪৬	২	৪	৯২
   ২০১৪	৫০	৩	৯	১৫০
   ২০১৫	৫২	৪	১৬	২০৮
   মোট	$\sum y = 316$	$\sum x = 0$	$\sum x^2 = 60$	$\sum xy = 308$

   সরলরৈখিক ধারা সমীকরণ: $\hat{y} = a + bx$
   যেহেতু $\sum x = 0$:
   $a = \frac{\sum y}{n} = \frac{316}{9} \approx 35.11$
   $b = \frac{\sum xy}{\sum x^2} = \frac{308}{60} \approx 5.13$

   অতএব, ধারা সমীকরণটি হলো: $\hat{y} = 35.11 + 5.13x$

   ২০১৭ সালের জন্য $x = 2017 - 2011 = 6$।
   ২০১৭ সালের প্রাক্কলিত মুনাফা:
   $\hat{y}_{2017} = 35.11 + 5.13 \times 6 = 35.11 + 30.78 = 65.89$ হাজার ডলার।

   প্রতিষ্ঠানটির ২০১৭ সালের মুনাফা অর্জনের লক্ষ্য ছিল ৭০ হাজার ডলার। কিন্তু প্রাক্কলিত মান প্রায় ৬৫.৮৯ হাজার ডলার, যা লক্ষ্যমাত্রার চেয়ে কম।
   অতএব, বিদ্যমান ধারার আলোকে ২০১৭ সালে প্রতিষ্ঠানটির ৭০ হাজার ডলার মুনাফা অর্জনের লক্ষ্যমাত্রা অর্জিত না হওয়ার সম্ভাবনাই বেশি।