উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

(2) বৃত্তটি $x$-অক্ষকে $(4,0)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্র $(4,k)$ এবং ব্যাসার্ধ $|k|$ (কেন্দ্র থেকে $x$-অক্ষের দূরত্ব)।

বৃত্তের সমীকরণ: $(x-4)^2+(y-k)^2=k^2$ ⟹ $x^2+y^2-8x-2ky+16=0$ ... (i)

$y$-অক্ষের ছেদাংশ নির্ণয়ে $x=0$ বসাই: $y^2-2ky+16=0$। এর মূলদ্বয় $y_1,y_2$ হলে ছেদাংশ $=|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{4k^2-64}$।

শর্ত: $\sqrt{4k^2-64}=4$ ⟹ $4k^2-64=16$ ⟹ $k^2=20$ ⟹ $k=\pm2\sqrt5$।

(i) এ $k$ এর মান বসিয়ে বৃত্তের সমীকরণ:

$x^2+y^2-8x\mp4\sqrt5\,y+16=0$।

উত্তর: $x^2+y^2-8x-4\sqrt5\,y+16=0$ অথবা $x^2+y^2-8x+4\sqrt5\,y+16=0$।