গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   ধরি, $u=3c-\dfrac1{3c}$। তাহলে $u^2=9c^2+\dfrac1{9c^2}-2$ এবং $9c-\dfrac1c=3\left(3c-\dfrac1{3c}\right)=3u$।

   প্রদত্ত রাশি $=u^2+3u=u(u+3)$

   $=\left(3c-\dfrac1{3c}\right)\left(3c-\dfrac1{3c}+3\right)$

   উত্তর: $\left(3c-\dfrac1{3c}\right)\left(3c-\dfrac1{3c}+3\right)$

2. খ)

   দেওয়া আছে, $(l+m)^2=\sqrt[3]{125}=5$ এবং $(l-m)^2=\sqrt[3]{64}=4$।

   $4lm=(l+m)^2-(l-m)^2=5-4=1$, অতএব $lm=\dfrac14$

   $l^2+m^2=\dfrac{(l+m)^2+(l-m)^2}{2}=\dfrac{5+4}2=\dfrac92$

   এখন, বামপক্ষ $=4(l^3m+lm^3)=4lm(l^2+m^2)=1\times\dfrac92=\dfrac92$ = ডানপক্ষ।

   $\therefore 4(l^3m+lm^3)=\dfrac92$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   দেওয়া আছে, $k^2+\dfrac1{k^2}=\dfrac{85}4$।

   $\left(k-\dfrac1k\right)^2=k^2+\dfrac1{k^2}-2=\dfrac{85}4-2=\dfrac{77}4$

   $\therefore k-\dfrac1k=\dfrac{\sqrt{77}}2$ (এখানে $k>1$ ধরা হয়েছে; $0<k<1$ হলে চিহ্ন ঋণাত্মক হয়, প্রশ্নের নির্ধারিত মান ধনাত্মক মূল থেকেই আসে)

   এখন, $k^3-\dfrac1{k^3}=\left(k-\dfrac1k\right)\left(k^2+1+\dfrac1{k^2}\right)=\dfrac{\sqrt{77}}2\left(\dfrac{85}4+1\right)=\dfrac{\sqrt{77}}2\times\dfrac{89}4=\dfrac{89\sqrt{77}}8$

   $\therefore 8\left(k^3-\dfrac1{k^3}\right)=89\sqrt{77}$ (দেখানো হলো)