পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারিকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে যে মান তিনটি তথ্যসারিটিকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে, তাদেরকে চতুর্থক (Quartile) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, সর্বোচ্চ গণসংখ্যা একাধিক শ্রেণিতে বিদ্যমান থাকলে বা দ্বি-প্রচুরক/বহু-প্রচুরক অবস্থার সৃষ্টি হলে সরাসরি সাধারণ সূত্রের সাহায্যে প্রচুরক নির্ণয় করা কঠিন হলেও অভিজ্ঞতালব্ধ সম্পর্ক সূত্রের সাহায্যে প্রচুরক নির্ণয় করা সম্ভব।

   এরূপ ক্ষেত্রে কার্ল পিয়ারসনের অভিজ্ঞতালব্ধ সূত্রটি ব্যবহার করা হয়, যা হলো:
   $\text{প্রচুরক} = ৩ \times \text{মধ্যমা} - ২ \times \text{গাণিতিক গড়}$

   এছাড়া সমবিস্তারবিশিষ্ট শ্রেণিবিন্যাসের ক্ষেত্রে ছক কাগজের মাধ্যমে গণসংখ্যা আয়তলেখ অঙ্কন করেও প্রচুরকের আনুমানিক মান নির্ধারণ করা যায়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করি:

   মজুরি (টাকা)	শ্রমিক সংখ্যা ($f_i$)	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($F_c$)
   ১০-১৫	৮	৮
   ১৫-২০	১২	২০
   ২০-২৫	১৫	৩৫
   ২৫-৩০	১০	৪৫
   ৩০-৩৫	৫	৫০
   মোট	$N = ৫০$

   এখানে, মোট গণসংখ্যা $N = 50$
   অতএব, $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25$

   ২৫ তম পদের অবস্থান যে শ্রেণিতে রয়েছে তা হলো (২০-২৫)।
   সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণি হলো ২০-২৫।

   আমরা জানি, শ্রেণিকৃত তথ্যের মধ্যমা:
   $\text{মধ্যমা (Me)} = L + \frac{\frac{N}{2} - F_c}{f_m} \times c$

   যেখানে,
   $L =$ মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা $= ২০$
   $\frac{N}{2} = ২৫$
   $F_c =$ মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $= ২০$
   $f_m =$ মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা $= ১৫$
   $c =$ মধ্যমা শ্রেণির শ্রেণিব্যাপ্তি $= ২৫ - ২০ = ৫$

   মানগুলো বসিয়ে পাই:
   $\text{Me} = 20 + \frac{25 - 20}{15} \times 5$
   $= 20 + \frac{5}{15} \times 5$
   $= 20 + \frac{25}{15}$
   $= 20 + 1.67 = 21.67$

   অতএব, নির্ণেয় মধ্যমা ২১.৬৭ টাকা।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   গাণিতিক গড় ও প্রচুরক নির্ণয়ের জন্য সারণি প্রস্তুত করি:

   শ্রেণি	মধ্যবিন্দু ($x_i$)	গণসংখ্যা ($f_i$)	$f_i x_i$
   ১০-১৫	১২.৫	৮	১০০
   ১৫-২০	১৭.৫	১২	২১০
   ২০-২৫	২২.৫	১৫	৩৩৭.৫
   ২৫-৩০	২৭.৫	১০	২৭৫
   ৩০-৩৫	৩২.৫	৫	১৬২.৫
   মোট		$N = ৫০$	$\sum f_i x_i = ১০৮৫$

   ১. গাণিতিক গড় নির্ণয়:
   $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{1085}{50} = 21.7$

   ২. প্রচুরক নির্ণয়:
   সর্বোচ্চ গণসংখ্যা ১৫ রয়েছে (২০-২৫) শ্রেণিতে।
   অতএব, প্রচুরক শ্রেণি হলো ২০-২৫।

   প্রচুরকের সূত্রানুসারে:
   $\text{প্রচুরক (Mo)} = L + \frac{\Delta_1}{\Delta_1 + \Delta_2} \times c$

   এখানে,
   $L = ২০$
   $\Delta_1 = 15 - 12 = 3$
   $\Delta_2 = 15 - 10 = 5$
   $c = ৫$

   $\text{Mo} = 20 + \frac{3}{3 + 5} \times 5$
   $= 20 + \frac{15}{8} = 20 + 1.875 = 21.875 \approx 21.88$

   আকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য:
   এখানে প্রাপ্ত মানসমূহ হলো:
   গাণিতিক গড় ($\bar{x}$) $= ২১.৭$
   মধ্যমা ($Me$) $= ২১.৬৭$
   প্রচুরক ($Mo$) $= ২১.৮৮$

   দেখা যাচ্ছে যে, গাণিতিক গড় এবং প্রচুরকের মান অত্যন্ত কাছাকাছি ($\bar{x} \approx Mo$)। তবে সূক্ষ্মভাবে বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, $\bar{x} < Mo$ (গড় < প্রচুরক)।
   সুতরাং, নিবেশনটি সামান্য ঋণাত্মক বঙ্কিম (Negatively Skewed) অথবা প্রায় প্রতিসম নিবেশন।