পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেসব চলক কেবল নির্দিষ্ট কিছু বিচ্ছিন্ন মান বা পূর্ণসংখ্যা (যেমন: ১, ২, ৩...) গ্রহণ করতে পারে এবং দুটি মানের মধ্যবর্তী যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে না, তাকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ফুটবল খেলায় গোলের সংখ্যা একটি বিচ্ছিন্ন চলক (Discrete variable)।
   কারণ কোনো ফুটবল ম্যাচে গোলের সংখ্যা কেবল পূর্ণসংখ্যা বা গণনাকৃত মান হতে পারে; যেমন- ০, ১, ২, ৩ ইত্যাদি। গোলের সংখ্যা কখনো ভগ্নাংশ বা অবিচ্ছিন্ন মান (যেমন- ১.৫ বা ২.৭৫টি গোল) হতে পারে না। যেহেতু এর মানসমূহ গণনাযোগ্য এবং নির্দিষ্ট পূর্ণসংখ্যায় সীমাবদ্ধ, তাই এটি বিচ্ছিন্ন চলক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে পাঁচজন শ্রমিকের মাসিক মজুরি ($x_i$, হাজার টাকায়) দেওয়া আছে:
   $x_1 = 10, x_2 = 8, x_3 = 6, x_4 = 12, x_5 = 15$

   প্রদত্ত রাশিটি হলো $\sum_{i=1}^{5} (x_i - 10)^2$।

   মান নির্ণয়:
   $\sum_{i=1}^{5} (x_i - 10)^2 = (x_1 - 10)^2 + (x_2 - 10)^2 + (x_3 - 10)^2 + (x_4 - 10)^2 + (x_5 - 10)^2$
   $= (10 - 10)^2 + (8 - 10)^2 + (6 - 10)^2 + (12 - 10)^2 + (15 - 10)^2$
   $= (0)^2 + (-2)^2 + (-4)^2 + (2)^2 + (5)^2$
   $= 0 + 4 + 16 + 4 + 25$
   $= 49$

   অতএব, নির্ণেয় মান ৪৯।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত পাঁচজন শ্রমিকের মজুরি ($x$) এবং ব্যয় ($y$) নিম্নরূপ:

   শ্রমিক	মজুরি ($x_i$)	ব্যয় ($y_i$)	গুণফল ($x_i y_i$)
   ১	১০	৯	৯০
   ২	৮	৮	৬৪
   ৩	৬	৫	৩০
   ৪	১২	১০	১২০
   ৫	১৫	১৩	১৯৫
   মোট	$\sum x_i = ৫১$	$\sum y_i = ৪৫$	$\sum x_i y_i = ৪৯৯$

   ১. চলকদ্বয়ের গুণফলের সমষ্টি:
   $\sum_{i=1}^{5} x_i y_i = (10 \times 9) + (8 \times 8) + (6 \times 5) + (12 \times 10) + (15 \times 13)$
   $= 90 + 64 + 30 + 120 + 195 = 499$

   ২. চলকদ্বয়ের পৃথক সমষ্টির গুণফল:
   $\left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right) \times \left(\sum_{i=1}^{5} y_i\right) = 51 \times 45 = 2295$

   বিশ্লেষণ:
   এখানে, $\sum_{i=1}^{5} x_i y_i = 499$ এবং $\left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right) \left(\sum_{i=1}^{5} y_i\right) = 2295$
   দেখা যাচ্ছে যে, $499 \neq 2295$

   অতএব, $\sum_{i=1}^{5} x_i y_i$ এবং $\left(\sum_{i=1}^{5} x_i\right) \left(\sum_{i=1}^{5} y_i\right)$ এর মান সমান নয়।