পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো নিবেশনের গাণিতিক গড় হতে নির্ণীত পরিঘাতসমূহকে শোধিত পরিঘাত বা কেন্দ্রীয় পরিঘাত বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

   কারণ, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের সূত্র হলো:
   $\mu_2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$
   যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গের মান সর্বদা অঋণাত্মক (অর্থাৎ শূন্য বা ধনাত্মক) হয়, তাই ব্যবধানের বর্গের সমষ্টি কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। ফলে পদসংখ্যা $n$ (যা একটি ধনাত্মক সংখ্যা) দ্বারা ভাগ করলে ফলাফল সর্বদা ধনাত্মক অথবা শূন্য হয়। অর্থাৎ $\mu_2 \ge 0$। সুতরাং, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত ঋণাত্মক হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে দেওয়া আছে,
   গড়, $\bar{x} = 16$
   মধ্যমা, $\text{Me} = 15$

   কার্ল পিয়ারসনের অভিজ্ঞতালব্ধ সম্পর্ক অনুসারে,
   গড় - প্রচুরক = ৩(গড় - মধ্যমা)
   বা, প্রচুরক $(\text{Mo}) = 3 \times \text{মধ্যমা} - 2 \times \text{গড়}$
   $= 3 \times 15 - 2 \times 16$
   $= 45 - 32$
   $= 13$

   অতএব, নিবেশনটির প্রচুরকের মান ১৩।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে দেওয়া আছে:
   গড় $(\bar{x}) = 16$, মধ্যমা $(\text{Me}) = 15$, দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত $(\mu_2) = 16$ এবং চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত $(\mu_4) = 50$।

   ১. বঙ্কিমতা যাচাই:
   আমরা জানি, কার্ল পিয়ারসনের বঙ্কিমতাঙ্ক,
   $SK = \frac{\bar{x} - \text{Mo}}{\sigma} = \frac{\bar{x} - \text{Mo}}{\sqrt{\mu_2}}$
   $= \frac{16 - 13}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} = 0.75$
   যেহেতু $SK > 0$ (অথবা $\bar{x} > \text{Me} > \text{Mo}$ অর্থাৎ $16 > 15 > 13$), সেহেতু নিবেশনটি ধনাত্মক বঙ্কিম। রনির এই মন্তব্যটি সঠিক।

   ২. সূঁচালতা যাচাই:
   সূঁচালতা পরিমাপের জন্য চতুর্থ পরিঘাতভিত্তিক গুণাঙ্ক হলো:
   $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{50}{(16)^2} = \frac{50}{256} \approx 0.195$

   যেহেতু $\beta_2 < 3$, সেহেতু নিবেশনটি অনতি-সূঁচালো বা চ্যাপ্টা (Platykurtic), অতি সূঁচালো (Leptokurtic) নয়।

   অতএব, রনির মন্তব্যটি পুরোপুরি সঠিক নয়; নিবেশনটি ধনাত্মক বঙ্কিম হলেও এটি অতি সূঁচালো নয়, বরং অনতি-সূঁচালো বা চ্যাপ্টা।