উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

(1) ধরি সমীকরণের একটি মূল $\alpha$, তাহলে অপর মূল $\alpha^2$।

মূলদ্বয়ের যোগফল: $\alpha+\alpha^2=-\frac{6}{27}=-\frac29$ ... (i)

মূলদ্বয়ের গুণফল: $\alpha\cdot\alpha^2=\alpha^3=-\frac{p+2}{27}$ ... (ii)

(i) থেকে $\alpha^2+\alpha+\frac29=0$ ⟹ $9\alpha^2+9\alpha+2=0$ ⟹ $(3\alpha+1)(3\alpha+2)=0$। অতএব $\alpha=-\frac13$ অথবা $\alpha=-\frac23$।

ক্ষেত্র ১: $\alpha=-\frac13$ হলে $\alpha^3=-\frac1{27}$। (ii) থেকে $-\frac{p+2}{27}=-\frac1{27}$ ⟹ $p+2=1$ ⟹ $p=-1$।

ক্ষেত্র ২: $\alpha=-\frac23$ হলে $\alpha^3=-\frac8{27}$। (ii) থেকে $p+2=8$ ⟹ $p=6$।

যাচাই: $p=-1$ এ মূল $-\frac13,\frac19$ এবং $p=6$ এ মূল $-\frac23,\frac49$; উভয়ক্ষেত্রে যোগফল $-\frac29$ ✓।

উত্তর: $p=-1$ অথবা $p=6$।