**5.**

(a) যদি $y = an^{-1} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$ হয়, তবে $\frac{dy}{dx}$ এর মান বের কর।(b) যদি $y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x)$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $x^2y_2 + xy_1 + y = 0$.

Question

**5.**

(a) যদি $y = 	an^{-1} \frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$ হয়, তবে $\frac{dy}{dx}$ এর মান বের কর।(b) যদি $y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x)$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $x^2y_2 + xy_1 + y = 0$.

Accepted Answer

**AI-তৈরি নমুনা উত্তর**

**(a)** 
দেওয়া আছে, 
$$y = 	an^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}ight)$$

ধরি, $x = 	an	heta \implies 	heta = 	an^{-1}x$

$$\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} = \frac{\sqrt{1+	an^2	heta}-1}{	an	heta} = \frac{\sec	heta - 1}{	an	heta}$$
$$= \frac{\frac{1}{\cos	heta} - 1}{\frac{\sin	heta}{\cos	heta}} = \frac{1 - \cos	heta}{\sin	heta} = \frac{2\sin^2\frac{	heta}{2}}{2\sin\frac{	heta}{2}\cos\frac{	heta}{2}} = 	an\frac{	heta}{2}$$

অতএব,
$$y = 	an^{-1}\left(	an\frac{	heta}{2}ight) = \frac{	heta}{2} = \frac{1}{2}	an^{-1}x$$

এখন, $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(	an^{-1}x) = \frac{1}{2(1+x^2)}$$

**উত্তর:** $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)}$

---

**(b)** 
দেওয়া আছে,
$$y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$$y_1 = \frac{dy}{dx} = -a \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}$$
$$\implies x y_1 = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x)$$

উভয়পক্ষকে পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$$\frac{d}{dx}(x y_1) = -a \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}$$
$$\implies x y_2 + y_1 \cdot 1 = -\frac{1}{x} [a \cos(\log x) + b \sin(\log x)]$$
$$\implies x y_2 + y_1 = -\frac{y}{x}$$
$$\implies x(x y_2 + y_1) = -y$$
$$\implies x^2 y_2 + x y_1 + y = 0$$

**(প্রমাণিত)**

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন