পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যসারির মানগুলো তাদের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যসারির কোনো একটি মান শূন্য (0) অথবা ঋণাত্মক হলে জ্যামিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না। কারণ, কোনো মান শূন্য হলে সকল মানের গুণফল শূন্য হয়ে যায় এবং তার n-তম মূলও শূন্য হয়ে পড়ে, যার ফলে কোনো অর্থপূর্ণ গড় পাওয়া যায় না। আবার, কোনো মান ঋণাত্মক হলে জোড় সংখ্যক পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে গুণফল ঋণাত্মক হয়ে কাল্পনিক বা অবাস্তব সংখ্যার সৃষ্টি হতে পারে। তাই তথ্যসারিতে শূন্য বা ঋণাত্মক মান থাকলে জ্যামিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা নির্ণয়ের জন্য ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করি:

   শ্রেণিব্যাপ্তি | মধ্যবিন্দু $(x_i)$ | গণসংখ্যা $(f_i)$ | ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $(F_c)$
   10 - 15 | 12.5 | 2 | 2
   15 - 20 | 17.5 | 8 | 10
   20 - 25 | 22.5 | 10 | 20
   25 - 30 | 27.5 | 5 | 25
   30 - 35 | 32.5 | 3 | 28
   মোট: N = 28

   এখানে, N/2 = 28/2 = 14।
   ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি থেকে দেখা যায় যে, 14 মানটি (20 - 25) শ্রেণিতে অবস্থান করছে।
   অতএব, মধ্যমা শ্রেণি হলো 20 - 25।

   আমরা জানি, মধ্যমা $(Me) = L + [(N/2 - F_c) / f_m] \times c$
   এখানে,
   L = মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা = 20
   N/2 = 14
   $F_c =$ মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা = 10
   $f_m =$ মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা = 10
   c = শ্রেণি ব্যবধান = 5

   সুতরাং, Me = 20 + [(14 - 10) / 10] × 5
   = 20 + (4 / 10) × 5
   = 20 + 2
   = 22

   অতএব, নির্ণেয় মধ্যমা 22 বছর।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ক্রিকেট কোচের বক্তব্য অনুযায়ী AM > HM হবে কি না তা যাচাই করার জন্য উদ্দীপক হতে গাণিতিক গড় (AM) এবং তরঙ্গ গড় (HM) নির্ণয় করি:

   শ্রেণি | মধ্যবিন্দু (x) | f | f.x | f/x
   10 - 15 | 12.5 | 2 | 25 | 2/12.5 = 0.1600
   15 - 20 | 17.5 | 8 | 140 | 8/17.5 ≈ 0.4571
   20 - 25 | 22.5 | 10 | 225 | 10/22.5 ≈ 0.4444
   25 - 30 | 27.5 | 5 | 137.5 | 5/27.5 ≈ 0.1818
   30 - 35 | 32.5 | 3 | 97.5 | 3/32.5 ≈ 0.0923
   মোট | | N = 28 | ∑fx = 625 | ∑(f/x) ≈ 1.3356

   গাণিতিক গড়, AM = (∑fx) / N = 625 / 28 ≈ 22.32 বছর।

   তরঙ্গ গড়, HM = N / ∑(f/x) = 28 / 1.3356 ≈ 20.96 বছর।

   যেহেতু AM (22.32) > HM (20.96), সেহেতু বয়সের গড়গুলোর মধ্যে AM > HM সম্পর্কটি সত্য।
   অতএব, ক্রিকেট কোচের বক্তব্যের সাথে আমি একমত।