পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো রাশি বা ব্যবস্থার পরিবর্তন যদি স্থানে বা দূরত্বের সাথে একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান পর পর একইভাবে পুনরাবৃত্তি ঘটে, তবে তাকে স্থানিক পর্যাবৃত্তি বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কোনো কণার উপর ক্রিয়ারত প্রত্যয়নী বল সর্বদা সাম্যাবস্থান অভিমুখী এবং এর মান সাম্যাবস্থান থেকে সরণের সমানুপাতিক। অর্থাৎ, F ∝ -x বা ma ∝ -x, যার ফলে ত্বরণ a ∝ -x হয়। এখানে ঋণাত্মক চিহ্ন নির্দেশ করে যে সরণ যেদিকে বৃদ্ধি পায়, ত্বরণ তার বিপরীত দিকে অর্থাৎ সর্বদা সাম্যাবস্থানের দিকে কাজ করে। তাই সরল ছন্দিত গতিসম্পন্ন কণার ত্বরণ সরণের বিপরীতমুখী।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6\ \text{m}$ (উদ্দীপকে $64 \times 10^6\ \text{m}$ টাইপো হিসেবে দেওয়া থাকলেও মূল প্রশ্নে $R = 6.4 \times 10^6\ \text{m}$ বিবেচনা করা হয়, অথবা প্রদত্ত মান $R = 64 \times 10^6\ \text{m}$ ব্যবহার করা যায়)।
   এখানে উদ্দীপকের প্রদত্ত মান অনুসারে:
   $R = 64 \times 10^6\ \text{m}$
   পৃথিবীর কেন্দ্রে O বিন্দু অবস্থিত।
   কেন্দ্র O হতে P বিন্দুর দূরত্ব, $r = OP = 5 \times 10^5\ \text{m}$
   পৃথিবীপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\ \text{ms}^{-2}$

   আমরা জানি, সুষম ঘনত্বের পৃথিবীর ক্ষেত্রে কেন্দ্র হতে r দূরত্বে অভিকর্ষজ ত্বরণ:
   $g' = g \times (r / R)$
   $= 9.8 \times (5 \times 10^5 / (64 \times 10^6))$
   $= 9.8 \times (5 / 640)$
   $\approx 0.0766\ \text{ms}^{-2}$

   [নোট: উদ্দীপকের মান যদি প্রমিত $R = 6.4 \times 10^6\ \text{m}$ ধরা হয়, তবে $g' = 9.8 \times (5 \times 10^5 / (6.4 \times 10^6)) = 0.7656\ \text{ms}^{-2}$ হয়। প্রদত্ত মান $R = 64 \times 10^6\ \text{m}$ অনুসারে ত্বরণ $0.0766\ \text{ms}^{-2}$]।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, উদ্দীপকে সুড়ঙ্গ পথে ছেড়ে দেওয়া বস্তুটির দোলনকাল নির্ণয় করা সম্ভব।

   গাণিতিক বিশ্লেষণ:
   ধরি, সুষম ঘনত্বের পৃথিবীর ভর M এবং ব্যাসার্ধ R। কেন্দ্র O থেকে x দূরত্বে বস্তুর ওপর ক্রিয়াশীল মহাকর্ষ বল কেবল x ব্যাসার্ধের গোলকের ভরের কারণে অনুভূত হয়।
   অতএব, ক্রিয়াশীল প্রত্যয়নী বল,
   $F = - (G \times M' \times m) / x^2$
   যেখানে $M' = M \times (x^3 / R^3)$
   সুতরাং, $F = - (G \times M \times m / R^3) \times x$
   বা, $m \times a = - (m \times g / R) \times x$ [যেহেতু $g = GM / R^2$]
   বা, $a = - (g / R) \times x$

   যেহেতু ত্বরণ (a) সরণের (x) সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী, তাই বস্তুটির গতি সরল ছন্দিত স্পন্দন গতি হবে।
   এখানে, কৌণিক কম্পাঙ্ক $\omega = \sqrt{g / R}$

   অতএব, দোলনকাল,
   $T = 2\pi / \omega = 2\pi \times \sqrt{R / g}$

   উদ্দীপকের প্রদত্ত মান অনুযায়ী:
   $R = 64 \times 10^6\ \text{m}$
   $g = 9.8\ \text{ms}^{-2}$
   মান বসিয়ে পাই,
   $T = 2\pi \times \sqrt{64 \times 10^6 / 9.8}$
   $\approx 2 \times 3.1416 \times 2555.55$
   $\approx 16056.84\ \text{s} \approx 267.61$ মিনিট $\approx 4.46$ ঘণ্টা।

   (যদি প্রমিত ব্যাসার্ধ $R = 6.4 \times 10^6\ \text{m}$ নেওয়া হয়, তবে $T = 2\pi \times \sqrt{6.4 \times 10^6 / 9.8} \approx 5077.6\ \text{s} \approx 84.6$ মিনিট)।

   যেহেতু বস্তুটির গতি সরল ছন্দিত স্পন্দন এবং দোলনকাল নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সকল মান জানা আছে, তাই বস্তুটির দোলনকাল গাণিতিকভাবে নির্ণয় করা সম্ভব।