$\int_0^{2a} \frac{dx}{\sqrt{2ax - x^2}}$ এর মান কত?

Question

Accepted Answer

ক. $\pi$

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাকলনটি হলো:
$$I = \int_0^{2a} \frac{dx}{\sqrt{2ax - x^2}}$$

আমরা বর্গ পূর্ণ করে পাই:
$$2ax - x^2 = a^2 - (x^2 - 2ax + a^2) = a^2 - (x - a)^2$$

সুতরাং,
$$I = \int_0^{2a} \frac{dx}{\sqrt{a^2 - (x - a)^2}}$$

ধরি, $x - a = u$, সুতরাং $dx = du$।
সীমা পরিবর্তন করলে:
- যখন $x = 0$, তখন $u = 0 - a = -a$
- যখন $x = 2a$, তখন $u = 2a - a = a$

অতএব,
$$I = \int_{-a}^a \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}}$$
$$I = \left[ \sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) \right]_{-a}^a$$
$$I = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(-1) = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$$

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো $\pi$ (অপশন 1)।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন