নিচের ধারাটির মান নির্ণয় কর: $\frac{1}{1 imes 2}+\frac{1}{3 imes 4}+\frac{1}{5 imes 6}+\ldots \ldots \infty$

Question

নিচের ধারাটির মান নির্ণয় কর: $\frac{1}{1 	imes 2}+\frac{1}{3 	imes 4}+\frac{1}{5 	imes 6}+\ldots \ldots \infty$

Accepted Answer

গ. $\ln 2$

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত ধারাটিকে আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে পাই:
$\frac{1}{1 	imes 2} + \frac{1}{3 	imes 4} + \frac{1}{5 	imes 6} + \dots = \left(1 - \frac{1}{2}ight) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}ight) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}ight) + \dots$
$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots$
আমরা জানি, $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$
$x = 1$ বসালে পাই, $\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$
অতএব, ধারাটির সমষ্টি = $\ln 2$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন