উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $x^2 + px + q = 0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$।

মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই,
$\alpha + \beta = -p$
$\alpha\beta = q$

প্রশ্নমতে, মূলদ্বয়ের পার্থক্য 1,
$|\alpha - \beta| = 1$

উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
$(\alpha - \beta)^2 = 1$
$\implies (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 1$
$\implies (-p)^2 - 4q = 1$
$\implies p^2 - 4q = 1$
$\implies p^2 = 1 + 4q$

এখন, বামপক্ষ:
$\text{LHS} = p^2 + 4q^2$
$= 1 + 4q + 4q^2 \quad [\because p^2 = 1 + 4q]$
$= 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2q + (2q)^2$
$= (1 + 2q)^2 = \text{RHS}$

অতএব, $p^2 + 4q^2 = (1 + 2q)^2$ (প্রমাণিত)।