পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যদি কোনো দৈব চলকের প্রতিটি স্বাধীন চেষ্টায় কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল (সাফল্য ও ব্যর্থতা) থাকে, চেষ্টার সংখ্যা সসীম ও নির্দিষ্ট হয় এবং প্রতিটি চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা ধ্রুব থাকে, তবে চলকটির সম্ভাবনা বিন্যাসকে দ্বিপদী বিন্যাস (Binomial Distribution) বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দ্বিপদী বিন্যাসের গড় কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

   কারণ, দ্বিপদী বিন্যাসের পরামিতি দুটি— চেষ্টার সংখ্যা $n$ এবং প্রতি চেষ্টায় সাফল্যের সম্ভাবনা $p$। আমরা জানি, চেষ্টার সংখ্যা $n$ সর্বদা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ($n > 0$) এবং সম্ভাবনা $p$ একটি অঋণাত্মক মান যা $0 < p < 1$ সীমার মধ্যে থাকে। ফলে দ্বিপদী বিন্যাসের গড়, $E(X) = np$ সর্বদা দুটি ধনাত্মক মানের গুণফল হওয়ায় তা সর্বদা ধনাত্মক হবে। সুতরাং, দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ঋণাত্মক হওয়া সম্ভব নয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   মোট সদ্য জন্ম নেওয়া সন্তানের সংখ্যা, $n = 4$
   ছেলে সন্তান হওয়ার সম্ভাবনা (সাফল্য), $p = 0.4$
   অতএব, মেয়ে সন্তান হওয়ার সম্ভাবনা (ব্যর্থতা), $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$

   আমরা জানি, দ্বিপদী বিন্যাসের ক্ষেত্রে:
   গড়, $\mu = np = 4 \times 0.4 = 1.6$

   এবং ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = npq = 4 \times 0.4 \times 0.6 = 0.96$

   সুতরাং, উদ্দীপক অনুযায়ী গড় হলো $1.6$ এবং ভেদাঙ্ক হলো $0.96$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, দৈব চলক $X$ সদ্য জন্ম নেওয়া ৪টি সন্তানের মধ্যে ছেলে সন্তানের সংখ্যা নির্দেশ করে। এখানে $X$ একটি দ্বিপদী চলক, যার পরামিতি $n = 4$ এবং $p = 0.4$।

   দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষকটি হলো:
   $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x} = \binom{4}{x} (0.4)^x (0.6)^{4-x}$; যেখানে $x = 0, 1, 2, 3, 4$

   তথ্য সংগ্রহকারীর বক্তব্য অনুযায়ী, কমপক্ষে ২টি ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$
   অথবা, $P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$

   এখন,
   $P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.4)^0 (0.6)^4 = 1 \times 1 \times 0.1296 = 0.1296$
   $P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.4)^1 (0.6)^3 = 4 \times 0.4 \times 0.216 = 0.3456$

   অতএব,
   $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.1296 + 0.3456 = 0.4752$

   সুতরাং,
   $P(X \ge 2) = 1 - 0.4752 = 0.5248$
   শতকরা হিসেবে, $P(X \ge 2) = 0.5248 \times 100\% = 52.48\%$

   তথ্য সংগ্রহকারীর মতে সম্ভাবনাটি ৫০% হওয়ার কথা ছিল। কিন্তু গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যায় যে কমপক্ষে ২টি ছেলে হওয়ার প্রকৃত সম্ভাবনা ৫২.৪৮%।
   সুতরাং, তথ্য সংগ্রহকারীর বক্তব্যটি সঠিক নয় বা সত্য নয়।