উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   বস্তুর আদিবেগ, $u = 30\text{ m/s}$
   ত্বরণ, $a = 4\text{ m/s}^2$
   সময়, $t = 7$

   আমরা জানি, $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $s_t = u + \frac{1}{2} a (2t - 1)$

   অতএব, ৭ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $s_7 = 30 + \frac{1}{2} \times 4 \times (2 \times 7 - 1)\text{ m}$
   $= 30 + 2 \times (14 - 1)\text{ m}$
   $= 30 + 2 \times 13\text{ m}$
   $= 30 + 26\text{ m}$
   $= 56\text{ m}$

   উত্তর: বস্তুটির ৭ম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব ৫৬ মিটার।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বস্তুটির প্রক্ষেপণ বেগ $= u$।

   আমরা জানি, অনুভূমিকের সাথে $\alpha$ কোণে $u$ বেগে কোনো বস্তু প্রক্ষিপ্ত হলে তার অনুভূমিক পাল্লা,
   $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$

   একই বেগ $u$ এর জন্য অনুভূমিক পাল্লা $R$ অপরিবর্তিত থাকে যদি অপর প্রক্ষেপণ কোণটি $(90^\circ - \alpha)$ হয়;
   কারণ, $\frac{u^2 \sin 2(90^\circ - \alpha)}{g} = \frac{u^2 \sin(180^\circ - 2\alpha)}{g} = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = R$।

   সুতরাং, কোণদ্বয় যথাক্রমে $\alpha$ এবং $(90^\circ - \alpha)$।

   প্রথম ক্ষেত্রে বিচরণকাল,
   $t_1 = \frac{2u \sin \alpha}{g}$

   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বিচরণকাল,
   $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \alpha)}{g} = \frac{2u \cos \alpha}{g}$

   এখন, বিচরণকালদ্বয়ের গুণফল:
   $t_1 t_2 = \left(\frac{2u \sin \alpha}{g}\right) \times \left(\frac{2u \cos \alpha}{g}\right)$
   $= \frac{2}{g} \times \frac{u^2 (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{g}$
   $= \frac{2}{g} \times \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$

   যেহেতু $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$,
   অতএব, $t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বাসটি স্থিরাবস্থা ($u = 0$) হতে $t_1$ সময় ধরে $x_1$ সমত্বরণে চলে সর্বোচ্চ বেগ $v$ অর্জন করে এবং এ সময় $s_1$ দূরত্ব অতিক্রম করে।
   পরবর্তীতে বাসটি $t_2$ সময় ধরে $x_2$ সমমন্দনে চলে $s_2$ দূরত্ব অতিক্রম করে $B$ বিন্দুতে থেমে যায় (শেষ বেগ = $0$)।

   প্রশ্নমতে,
   মোট সময়, $t = t_1 + t_2$
   মোট দূরত্ব, $S = s_1 + s_2$

   ১ম অংশের ক্ষেত্রে:
   $v = 0 + x_1 t_1 \implies t_1 = \frac{v}{x_1}$

   ২য় অংশের ক্ষেত্রে:
   $0 = v - x_2 t_2 \implies t_2 = \frac{v}{x_2}$

   অতএব, মোট সময়:
   $t = t_1 + t_2 = \frac{v}{x_1} + \frac{v}{x_2} = v\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right)$ ..... (১)

   আবার, গড় বেগের ধারণা থেকে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব:
   $S = s_1 + s_2 = \left(\frac{0 + v}{2}\right) t_1 + \left(\frac{v + 0}{2}\right) t_2$
   $S = \frac{1}{2} v (t_1 + t_2) = \frac{1}{2} v t$
   $\implies v = \frac{2S}{t}$ ..... (২)

   (১) নং সমীকরণে $v$-এর মান বসিয়ে পাই:
   $t = \frac{2S}{t} \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right)$
   $\implies t^2 = 2\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) S$ (প্রমাণিত)।