পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো গণসংখ্যা নিবেশনের শীর্ষদেশের তীক্ষ্ণতা বা সূঁচালোতার প্রকৃতিকে পরিমাপ করার প্রক্রিয়াকে সূঁচালতা (Kurtosis) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির প্রতিটি মান হতে তাদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের সমষ্টি সর্বদা শূন্য।
   প্রথম শোধিত বা কেন্দ্রীয় পরিঘাতের সংজ্ঞা অনুসারে,
   $\mu_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})}{n}$
   $= \frac{\sum x_i - n\bar{x}}{n} = \frac{n\bar{x} - n\bar{x}}{n} = 0$
   যেহেতু গাণিতিক গড় থেকে তথ্যমানগুলোর বিচ্যুতির বীজগণিতীয় সমষ্টি শূন্য হয়, তাই প্রথম শোধিত পরিঘাতের মান সর্বদা শূন্য।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে কর্মচারীদের মাসিক আয় (হাজার টাকায়):
   $x_i$: $10, 8, 12, 10, 13, 9, 11, 7$
   মোট কর্মচারীর সংখ্যা, $n = 8$

   গাণিতিক গড়, $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{10 + 8 + 12 + 10 + 13 + 9 + 11 + 7}{8} = \frac{80}{8} = 10$

   তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত নির্ণয়ের সারণি:

   $x_i$	$(x_i - \bar{x}) = (x_i - 10)$	$(x_i - \bar{x})^3$
   10	0	0
   8	-2	-8
   12	2	8
   10	0	0
   13	3	27
   9	-1	-1
   11	1	1
   7	-3	-27
   মোট	0	0

   সুতরাং, তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত,
   $\mu_3 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^3}{n} = \frac{0}{8} = 0$

   অতএব, নির্ণেয় তৃতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাতের মান ০।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সূঁচালতা পরিমাপের জন্য আমাদের দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় পরিঘাত $(\mu_2)$ এবং চতুর্থ কেন্দ্রীয় পরিঘাত $(\mu_4)$ নির্ণয় করতে হবে।

   আমরা জানি, $\bar{x} = 10$

   $x_i$	$(x_i - 10)$	$(x_i - 10)^2$	$(x_i - 10)^4$
   10	0	0	0
   8	-2	4	16
   12	2	4	16
   10	0	0	0
   13	3	9	81
   9	-1	1	1
   11	1	1	1
   7	-3	9	81
   মোট		28	196

   সুতরাং,
   $\mu_2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{28}{8} = 3.5$
   $\mu_4 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^4}{n} = \frac{196}{8} = 24.5$

   সূঁচালতাঙ্ক গুণাঙ্ক (Kurtosis Coefficient):
   $\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2^2} = \frac{24.5}{(3.5)^2} = \frac{24.5}{12.25} = 2$

   মন্তব্য:
   যেহেতু $\beta_2 = 2 < 3$, সেহেতু উদ্দীপকের নিবেশনটি অনতি-সূঁচালো বা চ্যাপ্টা-শীর্ষবিশিষ্ট (Platykurtic)।