নিচের কোন ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক?

Question

Accepted Answer

ঘ. $f{\left ( x ight )} = \frac{3 x + 2}{5}$

ব্যাখ্যা: একটি ফাংশন $f: \mathbb{R} 	o \mathbb{R}$ এক-এক (injective) এবং সার্বিক (surjective) বা বাইজেক্টিভ (bijective) হওয়ার শর্ত হলো:
১. এক-এক: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$
২. সার্বিক: রেঞ্জ = কোডোমেন (বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb{R}$)

অপশন ৪-এ প্রদত্ত ফাংশনটি হলো একটি সরলরৈখিক ফাংশন: $f(x) = \frac{3x+2}{5}$।
- এক-এক যাচাই: $f(x_1) = f(x_2) \implies \frac{3x_1+2}{5} = \frac{3x_2+2}{5} \implies 3x_1 = 3x_2 \implies x_1 = x_2$। সুতরাং ফাংশনটি এক-এক।
- সার্বিক যাচাই: যেকোনো $y \in \mathbb{R}$ এর জন্য, $y = \frac{3x+2}{5} \implies x = \frac{5y-2}{3} \in \mathbb{R}$। অর্থাৎ প্রতিটি $y$-এর একটি প্রাক-প্রতিচ্ছবি (pre-image) বিদ্যমান। সুতরাং ফাংশনটির রেঞ্জ $\mathbb{R}$, অর্থাৎ এটি সার্বিক।

অন্যান্য অপশনগুলোর ক্ষেত্রে:
- $f(x) = x^2$ এবং $f(x) = |x|$: ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় ইনপুটের জন্য একই আউটপুট পাওয়া যায় (যেমন, $f(1) = f(-1) = 1$), তাই এগুলো এক-এক নয়। তাছাড়া এদের রেঞ্জ শুধু অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা, তাই সার্বিকও নয়।
- $f(x) = \sin x$: এটি পর্যায়বৃত্ত ফাংশন, তাই এক-এক নয় এবং এর রেঞ্জ $[-1, 1]$, ফলে সার্বিকও নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর অপশন ৪।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন