পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   জ্ঞাত স্বাধীন চলকের প্রদত্ত মানের ভিত্তিতে অজ্ঞাত অধীন চলকের গাণিতিক বা প্রাক্কলিত মান নির্ণয়ের পরিসংখ্যানিক পদ্ধতিকে নির্ভরণ (Regression) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $0 < r < 1$ দ্বারা দুটি চলকের মধ্যে ধনাত্মক সংশ্লেষ (Positive Correlation) বিদ্যমান বোঝায়।
   এর অর্থ হলো, একটি চলকের মান বৃদ্ধি পেলে অপর চলকের মানও বৃদ্ধি পাওয়ার প্রবণতা দেখায়, অথবা একটির মান হ্রাস পেলে অপরটির মানও হ্রাস পায়। তবে যেহেতু $r < 1$, তাই এই সম্পর্কটি পূর্ণ ধনাত্মক নয়, বরং আংশিক ধনাত্মক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $n = 8$
   $\sum x = 56$
   $\sum x^2 = 524$
   $\sum y = 40$
   $\sum y^2 = 256$
   $\sum xy = 364$

   $x$ চলকের উপর $y$ চলকের নির্ভরাঙ্ক ($b_{yx}$):
   $b_{yx} = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}$

   মান বসিয়ে পাই,
   $b_{yx} = \frac{8 \times 364 - 56 \times 40}{8 \times 524 - (56)^2}$
   $= \frac{2912 - 2240}{4192 - 3136}$
   $= \frac{672}{1056} \approx 0.6364$

   অতএব, $x$ চলকের উপর $y$ চলকের নির্ভরাঙ্ক হলো প্রায় ০.৬৪ (বা 0.6364)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যাচাই করার জন্য আমাদের নির্ভরাঙ্কদ্বয় ($b_{yx}$ ও $b_{xy}$) এবং সংশ্লেষাঙ্ক ($r$) নির্ণয় করতে হবে।

   (গ) হতে প্রাপ্ত,
   $b_{yx} = \frac{672}{1056} \approx 0.6364$

   এখন, $y$ চলকের উপর $x$ চলকের নির্ভরাঙ্ক ($b_{xy}$):
   $b_{xy} = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{n\sum y^2 - (\sum y)^2}$
   $= \frac{8 \times 364 - 56 \times 40}{8 \times 256 - (40)^2}$
   $= \frac{2912 - 2240}{2048 - 1600} = \frac{672}{448} = 1.5$

   নির্ভরাঙ্কদ্বয়ের জ্যামিতিক গড়:
   $GM = \sqrt{b_{yx} \times b_{xy}} = \sqrt{\frac{672}{1056} \times 1.5} = \sqrt{\frac{672}{1056} \times \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{2016}{2112}} = \sqrt{\frac{21}{22}} = \sqrt{0.9545} \approx 0.977$

   এবার সংশ্লেষাঙ্ক ($r$) নির্ণয় করি:
   $r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}$
   $= \frac{672}{\sqrt{1056 \times 448}} = \frac{672}{\sqrt{473088}} = \frac{672}{687.81} \approx 0.977$

   যেহেতু $\sqrt{b_{yx} \times b_{xy}} = 0.977$ এবং $r = 0.977$,
   সুতরাং $r = \sqrt{b_{yx} \times b_{xy}}$।

   অতএব, "নির্ভরাঙ্কদ্বয়ের জ্যামিতিক গড় সংশ্লেষাঙ্কের সমান"- উক্তিটি উদ্দীপকের তথ্যের আলোকে সত্য প্রমাণিত হলো।